II-2.1.2a Températures imposées
Les Températures aux frontières dans ce cas sont
connues et données par les équations (I27) du chapitre
précédent. En les mettant sous la forme (II-8), les coefficients
aussi bien en x=0 (j=1) qu'en x=L (j=M) s'écrivent respectivement:
a1
1
a2
?
?
0
a ?
1
0
b
?
?
T1
t
?At
(II-10a)
(II-10b)
30
II-2.1.2b Flux imposés
Dans le cas du flux imposés les températures ne
sont pas connues il faut donc les déterminer. Pour cela, deux
possibilités théoriquement équivalentes sont
envisageables. La première consiste à discrétiser les
équations de conservation de l'énergie aux frontières, la
deuxième quant à elle consiste à discrétiser la
relation constitutive du flux aux frontières. On se propose d'examiner
en procédant selon les deux possibilités. Nous commençons
par développer les équations de conservation. Par la suite, nous
étudierons les relations constitutives du flux thermique aux
frontières de notre système.
?y
2
Figure II-3 : flux instationnaires aux
frontières du domaine
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
CAS DES EQUATIONS DE CONSERVATION
Nous reprenons quelques unes des étapes
développées plus haut pour les noeuds internes. En effet,
à l'extrémité gauche du maillage, on a, en
intégrant le premier membre de (II-4a) dans le demi-volume de
contrôle (Fig. II-3).
(II-
11a)
t??t 1
? ?
t 1
Tandis que le premier membre de (II-4b) donne :
t ?? t t ??
t
? ? ? ? ?
? T T ?
T ? ? ?
2 1
? k ( T
) ? dtdy ? ? k ?
? k ? ? ?
t
1 2
? ? y ?? ? t ?? ? ? ? ? y ?
? y ? ? ?
(II-11b)
Le second membre de (II-4a) et (II-4b) s'écrit lorsqu'on
l'intègre dans les demi-volumes de
contrôle aux extrémités gauche et droite
respectivement:
t?? t
? ?
M
t ?? t
? T ?
1 2 1
t M 2 ?y
Ck(T) ? r
???dtdy
???k?T?? kM?1
2 (II-12)
or
-1 2
???t??t
M
Tt t?
12 ?t
??
(II-13)
?T
?y y?0
q0 (t) ?
??k(T )
(t) ? ?
t t ?
?? ? ? T ? ? ? T T
?
1 2 ? ?
k(T) ?T
Ly?
?
qL
? ? ? ( ) dtdy k
y
31
t ?? t t ??
t
2 1 t ?? t
? ? ? ? ? ?
? y ?? k T q t
1 2 1
t 1 ? ? t ?? ? ? ? y
? 1 2 ? ?
Substituant ces équations dans (II-12) et (II-13), on
obtient:(II-14a)
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
(II-14b)
Donc (II-4a) et (II-4b) deviennent respectivement après
discrétisation et arrangement des termes aux deux frontières du
maillage:
M M ? 1 M M
? 2 ? t ? y y
? t
? M ? 1 2 ? ? ?
2
M ? 1 2
pour j=1 (II-15a)
pour j=M
(II-15b)
pour j=1 (II-16a)
pour j=M (II-16b)
Les équations (II-15a) et (II-15b) sont de forme
(II-8):
,
(II-17)
a ? C
1
? y k
t ?? t 1 2
?
2?t ?y12
k1 2
a2
a
1
? y 1 2
0
?
? y
t T q
t ??
b C t t
? ?
1 1
(II-18a)
a ? C
? y k
t ?? t M ? 1
2
?
?
t ?yM
?
1 2
aM?
1
1 2
kM
2
?
M
aM
?
1
?
yM
?
1 2
? y
t t t t
? T q ??
b C ?
M M
2 ? t
(II-18b)
32
2 ? t
Tandis que dans le cas où il s'agit de la diffusion de
température caractérisée par (II-4b), on a plutôt
:
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
Ay k1 2
+
? ?
? T ? ? T T ? T
t t
?? k ( T ) 1
2
2At 6y1 2
? y ?y ?
1
t ?? t
? ?
? T ?
k1 2
|
a2 a
1 ? ?
?
?
|
|
|
|
6y1 2
0
|
|
b=C2
tTt+qi+At
? ?
|
(II-19a)
? ? ?
? ? ? M M ? 1
dtdy k
? ? ? ? ? ?
k ? ? t
? t ?? ? ? ?
|
?y k M ? 1
2
?
a ? C
M
aM?
aM
?
1
0
kM
?
1 2
1
M M ? 1 2 ? (II-19b)
1 2
?yM
?
a = C
| 
