II-2.1.2c Convection aux frontières
Dans le cas où la diffusion est modélisée
par (II-4a), on a :
t ?? t t ??
t ??
M ?
? ? ? y ? y ?
?
?
t t t t
?? 1 2? ? T ?? ? T ??
? ? T ? ? ?
2 1 ?? ?? t ??
t
? ? ( ) ? h T
? k T ?
dtdy ? k ? ? ?
T ? ? ? t
(II-20)
M
?
?y
t
t 1 ? ? y ?? ? t ?? ? ? ? ? y
? ?
M ? ? T ?
T ?
M-1 2
?
? y
b C T q
t t ??t
? ?
M M
2 ? t
(II-21)
t t t t
1 2 1 f , 1 1
1 2
t t t t
M ? 1 M t ??
t ?? t ?? t
? ? ? ? dtdy ? ?
k ? ? ? T ? ? ?
t
t ? 1 2 ? ? y ??
k ( T ) h T
t t
les flux sont donnés par:
t t ?
M ? t ?? ? ? ? y
|
|
k(T)
?y??h0(T)(Tf,0(
y?0
|
t) ?T(0,t))
M ? ,
? M ? 1 2 ? ?
|
?
d'où
k(T) ?T??
hL (T)(T(L,t) ?Tf
,L (t))
t ?? t ? ? T ? ? ? ?? ??
1 2 M f M M
L
(II-22)
(II-23)
a1 ? C t??t ?y ?
k1 2 ? h t??t 1 2?t ?y1
2
k1 2
a ?0
?
1
b ? Ct ?y Tt
? y, t??tTt??t
2?t 1 ,h f,1
(II-24a)
a ? Ct??t ?y
? kM?1 2 ? h t??t
1 2
aM?
aM
?
1
0
kM
yM
?
?
1
1 2
?
1 2
(II-24b)
?y
t t t t t t
?? ?? M M
f,M 2?t
33
? T h T
b C ?
Tandis que dans le cas où elle modélisée par
(II-4b), on a plutôt :
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
|
?y k1 2
a ? C ? ?
h
1 1
2?t ?y12
t??t
t ?? t 1 2 ?? ??
? ? ? T t t T t t
? ?
1 2 1
? y 12
t ?? t M
?
?1 2
?t t t ?? t
T
?? ? T ? M M ? 1
|
|
k1 2
(II-25a)
? y
b C T h T
t t ?? t t ??
t
? ?
1 1 f ,1
2 ? t
? 1 2
k k
t t 1 2 1 2 T t t q t
t
T ?? ? ? 1 ??
1 ? 2
y ? y
1
? y k M ? 1 2
t ?? t
a ? C ? ?
h
M M
2 ? t ?yM ? 1
2
a M ?
1
a M
?
k M
?
1 2
1 2
? y M
?
? y
b ? C T
M M f , M
(II-25b)
t h T
t ?? t t ??
t
?
2 ? t
CAS DES RELATIONS CONSTITUTIVES DES
FLUX
Lorsqu'il s'agit des problèmes de diffusion avec flux
imposés aux frontières, exprimée par la relation
constitutive (Loi de Fourier) donnée par:
1 2 1 2
Les équations discrétisées se
réécrivent respectivement en (y=0) et (y=1) quelle que soit la
forme considérée des problèmes de diffusion (II-4a),
(II-4b):
k k
t t M
?? ? 1 2 M ? 1 2 t t t ??
t
T ??
T ? ? q
M M ? 1 M
? y ? y
M ? 1 2 M ? 1
2
q k
q
soient
k
M
??
(II-26a)
(II-26b)
Les coefficients des systèmes algébriques sont
alors donnés respectivement en (y=0) et
(y=L) par :
k1
2
k 1
2
a1
12
a2
?
a ?
1
?y
?
?At
b
q ?y12 0 t 1
(II-27a)
12
kM
?
12
?
8y
M
a M
0
a M ?
1
12
kM
?
1
12
?
M
a M
?
8y
?At
b
q
t
M
(II-27b)
34
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
Lorsqu'aux frontières on a la convection, exprimée
par les équations suivantes :
alors les équations discrétisées prennent la
forme suivante:
(II-28a)
(II-28b)
Les coefficients des systèmes algébriques sont
alors donnés respectivement en (y=0) et (y=L) par :
??t
k1
t
2
? ?
h1
a1
2
?y
1
k1
2
a2
?y
12
a ?
1
? ? [ C ( T )
T ( y , t )] ? ?
T ( y , t )
? t ? t ? y
? y
??t
T t ? ? t
b ? h1
0
t
(II-29a)
12
?
??t
1
(II-29b)
U h T
t t
? ? ? ?
t t
? M f , M
aM
M
hM
t
aM?
?
1
aM
?
?
kM
?
?
12
12
?
12
?yM
?
35
II-2.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE PROPAGATION
Les équations de propagation de l'onde thermique (I-26)
sans termes sources prennent les
? ( T ) 2 [ C
( T ) T ( y
, t )] ? ? [ k ( T
) ]
formes suivantes :
E E T ( y , t
) E T ( y , t
) E E T ( y , t
)
2
,
E t E t E t E y E
y
(II-30a)
? ( T ) [ C (
T ) ] ? C ( T ) ? [
k ( T ) ]
(II-30b)
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
II-2.2.1 EQUATIONS ALGEBRIQUES AUX NOEUDS INTERNES DU
MAILLAGE Intégrons le premier terme du premier membre de (II-23a) dans
le volume de contrôle.
t ?? t t
? ?
?? ? ? ? ? T ? ? T ?
T ? ?
e t t e
?? ? ? ?
??
(II-31)
avec
? ? t ? T C T
dtdy
? ? ? ? ( T )
C ( T )
? ( ) ( ) ?? ?? C (
T ) dy
w t t w t ?? ? t ??
? ?? ??
? ? ? ? ?
t t t t
P P ?? ? ?? ??
a T a T ? a T
t t b
E P W W
Tandis que les premiers membres de (II-23b) s'obtiennent par:
? ?
? -- ?dy
P ?
? ?t ?? ?t ?? ?
??t
?
? At At ?
e t??t
? ?
w t
t t t t
? C T
t??t ?? C ??
? ?T ? C T C T
t t t t t
? ??
? ? ? ( ? ) P ?
P P
? ?(T)
C(T) dtdy T
? ? ?( )
Ct+At (Tt+At
--T )t Ct (Tt --
Tt--At )1
?J
(II-26)
e
z-
(T)
fw
En développant comme précédemment, on
obtient :
?
?
? ?y
(II-27)
36
Les autres termes des équations de propagation (de type
hyperbolique) sont discrétisés comme dans le paragraphe
précédent. Donc (II-23a) et (II-23b) deviennent respectivement
après discrétisation et arrangement des termes sous la forme
(II-14) que nous rappelons ci-dessous:
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
(II-28)
37
(II-29)
on détermine alors par identification les coefficients , ,
aw et dans les cas (II-23a) et (II-23b) respectivement:
k
? ?
e
kw
?y
??t
t
C
a
P
? y
w
ke
a
E
?ye
kw
a
?
W
?y
w
) ? y
C
?
( T P
?t
?t
t
T t
P
Tt
P
t
C
?
?
? y e
? t ? t
(II-30a)
k
? ?
e
kw
a
P
?ye
?y
w
? y ke
a
E
W
? y e
(TP
)?y
?y
?
?t
t
Tt
P
Tt
P
C
?
?t
?t ?t
(II-30b)
? ? ( T ) ?
P
b ? ? 2 ? 1
?
? ? t ?
? y ? t
a
?
kw
? y
w
? ? ( T ) ?
P
? ? C ?
? ? t ?
? ?
bC t t t
? ( ? C )
? ? ( T ) ?
P C t ? ?
t
? ? C ?
? t ?
? t ?
??? (T ) ? P
? 1 ?
?t ?
?t ?
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
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