Problèmes du couplage hydromécanique des sols. Cas de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi dans un calcul par la méthode des éléments finis

Chapitre 2 : Les limites de la modélisation de la consolidation
unidimensionnelle de Terzaghi

2.1. - Introduction

La théorie de consolidation unidimensionnelle de Terzaghi établie en 1923 est jusqu'à nos jours utilisée pour le calcul et l'évolution du tassement dans les sols fins. La consolidation met en jeu un couplage fort qui existe entre la compressibilité mécanique du squelette et le drainage de l'eau. Pour modéliser ce couplage Terzaghi a fait recours à de nombreuses hypothèses. La résolution par éléments finis nous implique nécessairement de nous appesantir sur la modélisation du phénomène. Il ne sert à rien de trouver la solution exacte d'une équation qui n'est pas représentative du phénomène physique. La finalité étant de mieux appréhender la consolidation, nous allons dans ce chapitre revenir sur le processus de l'établissement de l'équation de Terzaghi, puis analyser au cas par cas ses hypothèses pour relever les limites et les insuffisances éventuelles.

2.2. - Modélisation de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi

s La conservation de la masse :

On considère un massif de sol saturé de volume y et de masse M. La consolidation intervenant après le tassement instantanée, correspondant à l'expulsion des poches d'air, on a par principe un échantillon saturé. Dans cet échantillon on a deux phases: solide et liquide donc M = Ms + Mw. L'application de la conservation de masse pour cet élément s'écrit:

?

?

?

??

0

dM

dt

d(Ms

0

?

Mw)

(2.1)

L

dt

Du fait que les masses de l'eau et des grains solides ne peuvent pas avoir des variations négatives l'équation (2.1) implique que :

dMs dt

dMw

= 0 et = 0 (2. 1)
dt

Par définition la masse de l'eau dans cet échantillon est :

Mw=??v? n

w (2. 2)

Soit:

Mémoire de Master 7 Yamné A.K. KOUAMA

UFR/SI

dMw dnv? d ? ( ? n)

w w

? ? ?? nvdv?? ? dv? ?? nVw?dS (2. 3)

w w

dt dt dt t

v v s

Par application du théorème de la divergence à l'égalité (2.4) on obtient :

^???_?div(? _wnVw) ? w )

t

?

?

?

dv?0 (2. 4)

?

v

?

(

n

Dans les hypothèses de Terzaghi l'eau étant incompressible, c'est-à-dire pu^, = constante, l'equation de conservation de l'eau s'écrit finalement :

??( n )? ? ?( n) ?

? div(nVw)? ?0? ( )? ?0 (2. 5)

w?? ? ?? ?? div nVw

t ? t ??

Par définition la masse des grains solides dans l'échantillon est :

Ms ? ? ? (1? n) v

s (2. 6)

En suivant le même cheminement et toujours dans les considérations de Terzaghi, incompressibilité des grains solides, on obtient l'équation suivante pour la conservation de masse des grains solides:

??(1 ? n) ? ? ? (1 ? n) ?

? div((1? n)Vs) ? ?0 ? ((1 ? ) ) ? ? 0 (2. 7)

s ?? ? ?? ?? div n Vs

t ? t ??

Les déformations étant supposés unidimensionnelles, la conservation de la masse de l'échantillon est :

?(1

? n Vs

) ( ) ?
?nVw

? 0 (2. 8)

? z ? t

? La loi de Darcy

Par définition la vitesse apparente est :

Q S

? Vw (2. 9)

La vitesse relative de l'eau par rapport aux grains solides est :

Q

Vw ? Vs ? (2. 10)
nS

La loi de Darcy sur l'écoulement hydraulique est :

Q ? Ski (2. 11)

Mémoire de Master 8 Yamné A.K. KOUAMA

UFR/SI

Avec le gradient hydraulique i ? ?gradh (2. 12)

u

Et la charge hydraulique dans les sols h? ? z (2. 13)

y_w

Finalement on a :

?(u ?y_wz)

(2. 14)

Vw ? Vs	? ?		k
		n	yw

?z

? La loi de compressibilité

Pour Terzaghi, la variation de l'indice des vides est linéairement proportionnelle à la contrainte effective. Soit :

de??a vd?? Etant donné que :		(2.		15)	d?? ? d(??' ?u)? 0
	(2.	16)		Alors :
				d??^'? ?du
	(2.	17)		Soit:
				de ? avdu
	(2.	18)		? Ecriture de l'équation de la consolidation
				On sait que:
				e
?e	(2.	19)
? (1 e)^2
				En remplaçant la valeur de n dans l'équation de conservation de masse on trouve :
				Vs
				Vw ? ? e
	(2.	20)		La loi de Darcy devient donc :
				k ?(u ?ywz)
	(2.	21)
Vw? eVw ? ?
n yw ?z

Mémoire de Master 9 Yamné A.K. KOUAMA

UFR/SI

Et on tire:

k

?_w

?

(u

y z)

?

Vw

n(1?e)y_w ?z

(2. 22)

En remplaçant V w par son expression dans l'équation de conservation de masse de l'eau on a :

? ? k ?(u)? ?n

? ? ? (2. 23)

?z? n(1?e) y_w ?z ? ?t

? ?

?

n ?t

Dans cette équation on introduit l'expression de

?e

? ? k ?(u)?_? ?t ? a_v ?u

(2. 24)

?z? n(1?e)y_w ?z ? ? ? ?t

? ? (1 e)² (1 e)²

? (1 )

? ? e k ?u? ?u

? ? ? (2. 25)

?z ? avyw ?z ? ?t

? ?

Terzaghi pose	cv	(1? e)k ? et considère que la perméabilité k et le coefficient de compression
av			yw

a sont des constantes. L'équation de la consolidation unidimensionnelle s'écrit donc :

_?2

t

u ?u

c_v ?

? u 2 ?

(2. 26)