Commande directe du couple basée sur la linéarisation entrée-sortie

IV.3 Application de la technique de linéarisation au sens des entrées-sorties à la
commande directe du couple

Rappelons que les équations dynamiques du MI dans le référentiel (á,â ) sont :

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

? ?

d i R R R ù 1

sá s r r r

=-( + ) i -ù i + Ö + Ö + V

s

dt óL óL

sá r sâ sá sâ sá

óL L s óL óL s s

d i sâ R R R ù 1

s r r r

=-( + ) i +ù i + Ö - Ö + V

sâ r sá sâ sá sâ

dt óL _s óL r óL L s óL s

óL_s

-

d Ö sá
dt
d Ösâ

dt

(IV.1)

V _sá -R s isá

- V _sâ -R s isâ

d ù 3p

r L

= (Ö i -Ö i )-

sá sâ sâ sá

dt 2J J

Le couple généré du moteur à induction peut être exprimée en termes de courants statorique et flux statorique comme suit :

3p

= (Ö i -Ö i )

e sá sâ sâ sá (IV.2)

2

Le système d'équations est récrit sous la forme suggérée pour l'application de la linéarisation au

sens des entrées-sorties comme suit :

(IV.3)

x~ = f( x ) + g ₁ ( x ).Vsá + g 2 ( x ).Vsâ

y = h( x)

(IV.4)

Avec :

r i i + Ö + Ö ?

?

? sá r s_â sáóL _s óL r óL _r L s óLs

?

?R R R ù

s r r r

f( )= -(

x + ) i +ù i + Ö - Ö

? sâ r sá sâ sá

óL óL óL L óL

? s r r s s

? -Rs isá

? ?^-Rs isâ

Où le vecteur des états x et des commandes u sont :

x = i sá , i sâ ,Ö sá ,Ö sâ ? ? ? ?

T

, ? u = V sá , V sâ ? ?

T

et:

? 1 g ( )= x ? 0 1 0 1 Ò ? óLs J

T

g 2 ( x) =

? 1 ? 0 0 1 Ò ?óLs J

T

IV.3.1 Commande flux- couple

La commande flux-couple consiste à choisir comme variables à contrôler, le couple ainsi que le carré du module du flux statorique, le vecteur de sortie est donnés par l'équation suivante, [5] :

(IV.5)

3p

h ( )= = (Ö i -Ö i )

x

1 e sá sâ sâ sá

2

2

2 2

h ₂ ( x ) = Ö s = Ö _sá + Ö sâ

Les deux variables de sorties à contrôler y₁ et y₂ sont définies par:

y₁ =h1 (x)

y₂ =h₂(x) (IV.6)

IV.3.2 Linéarisation entrée-sortie

La méthode de linéarisation par entrée-sortie est développée à partir de théories de la géométrie différentielle. Elle consiste à utiliser les dérivées de Lie pour exprimer le modèle de la machine en relation entrée-sortie. Pour obtenir la loi de commande non-lineaire, dérivons autant de fois qu'il faut afin de faire apparaître l'entrée u.

R R R ù

s r r ?

( + )

?

?

?

?

?

?

? ?

Les dérivées des deux soties sont données par :

? h ? h ? h

y = L h ( x )+L h ( x )V +L h ( x )V = f( x )+ g ( x ).V + g ( x ).V

1 1 1

^(IV.7))

~ 1 f 1 g1 1 sá g2 1 sâ 1 sá 2 sâ

? x ? x ? x

Avec:

3p

L h = - Ö

f 1 sâ

2

? R R ù 3p ? R R ù

? -( + )i - ù i + Ö + Ö -( + )i +ù i - Ö

s r r s r r

? ? ?

sá r sâ sâ sá sâ r sá sá

? óL óL óL

s r s ÿ 2 ?óL _s ^sóL _r róLs ÿ

_s

3p 1 Lh = (i - Ö ) g1 1 sâ sâ 2 L ó s 3p L g2h 1 = 1 Ösá - sá ? s 2 L ó ? 2 2= =L f h 2 2( x ))L g1 h 2 2( x )V sâ pL g2 h 2 2( x )V sác?h^22.f( x ))? h 2 ^2?x x? x xg 1 1( x ).V sác^??^hh:g 2 2( x).Vsâp Avec : L f h 2 = -2R s ( Ö sá i sá -Ö sâ i sâ) L g1 h 2 = 2Ö sá L g2 h 2 = 2Ö sâ IV.3.3 Linéarisation du système

(IV.8)

La matricedéfinissantt la relation entrel'entréee physique (u) et la sortiedérivéss (y (x)) estdonnéee par l'expression (IV.9).

P

1 ^1-1= =A( x )+E( x ) )[Vsá1(IV.9)) JVsâpAvec

A( x) =

? ? L h f 1 ? ? ? ? ? ? L h f 2

,

E( )= x

? L h L h g1 1 g2 1 ? ? ? ? ? IL g1 h 2 2L,g2hh 2 j

E( x) =

_?

3p1 3p 1

? ? ?

? (i - Ö ) ? Ö - i

sâ sâ sá sá ? Ò

2 L ó 2 L ó

(IV.10)

? s ? s ? ?

? ? ^c2Ösá,²Ösâ ÿ

3

E(x): est la matrice dedécouplage..

3p 1 3p 1

? ? 1 ? 1 ?

sát

Ö

det(E)= (i - Ö ).2Ö - ? Ö - i .2Ö = 3p(i - Ö )Ö - 3p

? ? Ö - i

sâ sâ sâ sá sá sá sâ sâ sâ sá sá ?

2 L ó 2 L ó

s ? s ? L ó

s ?L s ó ?

^a

Aprèss simplification onàa :

? 1

det(E)= 3p - (Ö +Ö )+ i Ö + i Ö

2 2

? sâ sá sâ sâ sá sá Ò

? L ó

s ÿ

·

(IV.11)

En utilisant le modèle de moteuràa induction onàa :

1 M

i = Ö - Ö

sá sá rá

óL óL L

s s r

(IV.12)

1 M

i = Ö - Ö

sâ sâ râ

óL óL L

s s r

La substitution de (IV.12), dans (IV-11) donne

M

det(E)= -3p. ? ?

? sâ râ sá rá ÿ

Ö Ö +Ö Ö (IV.13)

óL L

s r

Il est clair que la matrice E(x) est toujours réversible, le produit du flux du stator et du rotor ne peut pas être égal à zéro, la linéarisation entrée-sortie suivante est introduite pour le système illustré par (IV.3)

Ainsi, la loi de commande par la linéarisation est donnée par :

? i

V ? r l l

V

sá 1

? ? = E ( ) -A( )+

-1 x ? x ? ? ? (IV.14)

? ?

V sâ ? ? ÿ ÿ

V 2

Où

V =	r l V 1 I ? V , représente le nouveau vecteur des variables d'entrées. L ] 2

L'application de la loi linéarisante (IV.14) sur le système (IV.9) conduit à deux sous système mono-variable linéaires et découplés :

????.
	V = h ( ) x 1 1	(IV.15)
	V = h ( ) x 2 2

Pour assurer une régulation parfaite et de suivre les signaux désirés du flux et du couple en vue de leur référence, les entrées internes v₁et v₂ sont choisis comme suit :

2 2 2

V = Ö +k ( Ö - Ö )

1 s 1 s s

ref ref

V = + k ( - )

2 e ref 2 e ref e

???

??

(IV.15)

Dans ces conditions on cherche à asservir le couple _e au couple de référence e ref et

2

Ö_s au

- Ö

Ö s

s

???

??

ref

s = -

1 e ref e

2 2

s =

2

(IV.16)

flux de référence s ref

Ö avec une dynamique imposée.

Définissons les variables erreurs :

Les coefficients ( k₁ , k₂ ) choisis tel que s ₁ + k ₁ , s ₂ + k ₂ soient des polynômes d'hurwitz (racines du

polynôme à parties réelles négatives). La détermination des paramètres k₁ et k₂ peut se faire de différentes manières. Nous citons en particulier la méthode par placement de pôles, [78].