Commande directe du couple basée sur la linéarisation entrée-sortie

IV.2.2 Dérivée de Lie

Nous utilisons la notation standard des dérivées de Lie. Soient f ?

R R : un champ de vecteurs

n n

et h: ?

R R une fonction scalaire. On introduit la dérivée de Lie comme étant une nouvelle

n

fonction scalaire, notée L_fh , donnant la dérivée de h(x) dans la direction de f(x), tel que :

( )

x

n ? h

L h( )= hf =

x ? ?( )f

x

f i

i=1

? x i

La dérivée de Lie n'est rien d'autre que la dérivée directionnelle le long du vecteur f. Si g est un autre champ de vecteur, alors on a, [79].

L _g L _f h = ?(L _fh)g

IV.2.3 Crochets de Lie

Soient f et g deux champs de vecteurs. Le crochet de Lie de f et g est un troisième champ de vecteurs défini par :

? ?

g f

[ ]

f, g = ad g = f - g

f ? ?

x x

Où ? ? g f , ? ? x x

sont des matrices Jacobiennes. L'application des crochets de Lie successives donne :

ad fg = g(ad pour adjoint)

0

ad fg = 1	[ ] f, g
ad fg = i		i-1 ? ? ? f,ad fg ÿ

IV.2.4 Principe de la technique de linéarisation au sens des entrées-sorties

Nous allons montrer comment obtenir une relation linéaire entre la sorties et une nouvelle entrée u, en effectuant un bon choix de la loi de linéarisation. Le modèle équivalent étant linéaire, on peut lui imposer une dynamique stable en se basant sur les méthodes classiques, on considère le cas suivant :

p

.

x

= f( )+ g ( )u

x ? x

i

i=1

y = h ( )

x

i i

Ou x =[ x ₁ , x ₂ ,... x _p ] est le vecteur des états, u =[u ₁ ,u ₂ ,...u _p ] est le vecteur des commandes et y =[y ₁ , y ₂ ,...y _p ] représente le vecteur des sorties. Le problème consiste à trouver une relation linaire

entre l'entrée et la sortie en décrivant la sortie jusqu'à ce qu au moins une entrée apparaisse en utilisant l'expression :

p

? r _j -1

y = L h ( x )+ L (L h ( x ))u

(rj) rj

i j j g f j i

i

i=1

Le degré relatif total (r) est définit comme étant la somme de tous les degrés relatifs obtenus, et

p

doit être inférieur ou égale à l'ordre du système : r = ? = n

r j

j-1

Qui peut être exprimé sous forme matricielle :

?? x x
? y . . y = A( )+E( )u r 1 r p
1 p ÿ
Avec

? L h (x)

r

1

f 1

? ?

A (x) =

? ?

? ?

r

? ? L h (x)

p

f p Ò ÿ

et

? ? ? ? E(x) = ? ? ? ??

L L h (x) L L h (x) L L h (x) r -1 r -1 r -1 1 1 1 g f 1 g f 1 g f 1 1 2 p Ò L L h (x) L L h (x) L L h (x) r -1 r -1 r -1 2 2 2 Ò g f 2 g f 2 g f 2 1 2 p ? ? ? ? L g 1 L f r p h p (x) L g 2 L f r p h p (x) L g p L f r p h p(x)]

Où E(x) est appelée matrice de découplage du système.

On note que la linéarisation ne serait possible que si la matrice de découplage est inversible. La loi de linéarisation est donnée donc sous la forme :

u = E ^-1( x ) [-A( x )+ v ]