II- L'allocation optimale dans le plan Moyenne - VaR
relative
II-1 La modélisation du problème d'optimisation du
portefeuille p 25
II-2 Le cadre de l'étude empirique p 30
II-3 L'application des méthodes de mesure de la Value at
Risk p 33
II-4 La construction des frontières d'efficience p 34
II-5 L'allocation optimale dans le cadre statique ..p 34
II-6 L'allocation optimale dans le cadre dynamique .p 37
Conclusion p 41
Annexes p 42
Bibliographie ..p 56
L'optimisation d'allocation d'actifs devient de plus en plus
un enjeu important sur les marchés financiers. Les coûts relatifs
à une mauvaise gestion de portefeuille et à un erreur de
prévision des tendances du marché peuvent engendrer des
situations financières précaires pour les sociétés
voir même les exposer au risque de faillite.
En théorie moderne de portefeuille, l'allocation
optimale de la richesse initiale se base sur la maximisation de la prime de
risque espéré par unité de risque. L'approche
traditionnelle de mesure de ce dernier est celle de la Moyenne Variance. Dans
ce cas, le risque est définie en terme de variation possible des
espérances de rendement du portefeuille dans les deux sens, celui de la
hausse et de la baisse: on parle de la volatilité des actifs financiers.
Elle est égale à la racine carrée de la variance des
rendements. Néanmoins, cette approche présente des
inconvénients. Le principal inconvénient est qu'elle
considère l'investisseur comme indifférent devant
l'évolution de la valeur du portefeuille dans le sens de la hausse ou
dans le sens de la baisse. Il est supposé que pour lui, il s'agit
toujours d'un risque à assumer. Un deuxième inconvénient
important est l'hypothèse implicite de la symétrie de la
distribution des rendements et plus précisément la
normalité de cette distribution. En pratique, il est bien montré
que la distribution de plusieurs séries de rendements financiers est non
normale avec un coefficient d'asymétrie (skewness) et un coefficient
d'aplatissement (kurtosis) trop élevés. De même, les agents
économiques traitent évidemment les pertes et les gains d'une
façon asymétrique. Il existe pas mal d'études sur
l'aversion à la perte (voir par exemple, Kahneman et al.1990).
Le choix de l'approche Moyenne Variance apparaît ainsi
comme une stratégie inefficiente pour optimiser l'espérance de
rendement tout en minimisant le risque. Il sera plus intéressant de
chercher une mesure de risque qui peut incorporer n'importe quel non
linéarité dans la distribution des rendements des actifs
financiers tout en se focalisant sur la valeur potentielle à perdre
plutôt que sur l'évolution en valeur absolue. Dans ce cas on aura
l'avantage de pouvoir considérer des payoff non normal tel que ceux des
produite dérivés et ainsi un cadre d'étude plus
générale. Cependant, il faut signaler qu'en finance la
déviation à
l'hypothèse de normalité suggère des
critiques dont on peut citer principalement la perte de l'opportunité de
passage d'un cadre discret à un cadre continue.
Dans ce cadre de recherche, la notion relativement
récente de la Valeur à risque (Value at Risk) apparaît
être capable de répondre à la problématique
présentée ci dessus. D'une part, l'estimation de cette mesure de
risque peut incorporer la composante de non normalité de la distribution
des rendements du portefeuille. D'autre part, cette mesure s'intéresse
directement au montant de la perte potentielle à subir sur
l'investissement. En effet, la Value at Risk (VaR) peut se
définir simplement comme la perte potentielle maximale que
l'investisseur peut subir dans un horizon de temps donné et pour un
niveau de probabilité fixé. La Value at Risk mesure directement
et en terme monétaire la perte future dans la valeur de portefeuille. Le
résultat additionnel résultant d'une non normalité peut
être inclut et absorbé dans l'estimation de la Value at Risk.
Cette mesure semble à ce jour s'imposer comme le standard pour la mesure
des risques de marché dans l'industrie financière et surtout
bancaire.
L'objectif de ce travail est d'analyser un modèle
d'allocation optimale de la richesse en se référant à la
VaR comme la mesure du risque. On cherche aussi à valider les
méthodes d'estimation de la VaR incorporé dans ce
modèle. Dans le premier chapitre, on s'intéresse à la
présentation de la VaR, de ses paramètres et des
méthodes pratiquées pour son estimation. On étudie aussi
le concept de la VaR ainsi que sa relation avec la gestion de
portefeuille tel que cité en littérature financière.
Dans le second chapitre, on commence par présenter le
modèle permettant de déterminer la répartition optimale
entre les actifs risqués d'un portefeuille. Ce modèle permet
aussi de calculer le montant de prêt emprunt nécessaire pour
ramener la VaR du portefeuille optimal à un niveau
prédéterminé. Ceci nous rappelle du théorème
de séparation de Tobin (1958) dans l'approche traditionnelle de gestion
de portefeuille. Ensuite, on élabore le cadre empirique de notre
étude avec des hypothèses sur les différents facteurs.
Cette étude empirique sera composé de trois parties : Dans la
première partie, on applique et on analyse les différentes
méthodes d'estimations de la VaR cités dans le chapitre
précédent. Dans la seconde partie, on applique et on analyse les
résultats de notre modèle dans un cadre statique. Les
méthodes d'estimation de la VaR retenue sont la méthode
empirique, la méthode de l'hypothèse de normalité et la
méthode de la théorie des valeurs extrêmes (TVE ou aussi
GPD en se référant à la distribution de Pareto
Généralisé). Dans la troisième partie, on passe
à un
cadre dynamique. L'objectif est de tester les trois approches
d'estimation de la VaR dans notre modèle
générale. Pour cela, on procède à l'application de
ce dernier pour une gestion quotidienne sur 465 jours. On se
réfère ensuite à un Backtesting en comparant les pertes
effectives des portefeuilles optimaux constitués quotidiennement avec
les VaR limites prévues par les investisseurs. Le
critère retenu dans ce cas est donc le taux d'échec des
prévisions pour les trois approches. Un deuxième critère
peut être retenu qui est celui de la richesse finale obtenue à la
fin de la période de gestion (après les 465 jours). Le
modèle choisi sera celui qui maximise cette richesse.
I-1 Le concept de la Value at Risk :
Selon Berdin et Hyde (2001) la VaR est définie
comme étant la mesure qui fournit une estimation statistique de la perte
potentielle sur un actif ou un portefeuille qui peut survenir avec une
probabilité donnée suite à des mouvements de prix ou de
taux relativement adverses. Ceci est valable sous l'hypothèse que
pendant une période de temps (l'horizon de calcul de la VaR) la
composition du portefeuille resterait inchangée. D'après A. Louis
Calvet (2000) la VaR d'un portefeuille d'actifs financiers correspond
au montant de pertes maximales sur un horizon de temps donné, si l'on
exclut un ensemble d'évènements défavorables (worst case
scénarios) ayant une faible probabilité de se produire. Une autre
définition de la VaR peut être avancée : il s'agit
de la perte maximale par rapport à la valeur espérée du
portefeuille et non par rapport à la valeur initiale. Dans ce cas, on
parle de la VaR relative. La figure 1 illustre la notion de la
VaR dans le cas d'une distribution normale centrale réduite des
rendements du portefeuille étudié. Dans ce cas, dire que la
VaR à 95% pour un jour est égale à -1,645%
signifie qu'au maximum on aura 5 rendements sur 100, dans le jour suivant, qui
soient inférieures à -1,645%.
Figure 1 : Un exemple de la Value-at-Risk sous
la distribution normale
Selon Paul Glasserman et al.(2000), deux
événements ont concouru à l'adoption
généralisée de la VaR sur le secteur financier et
un autre a favorisé son développement dans les entreprises
surtout américaines.
> Le premier date de 1995. Réunis en comité
à la banque des règlements internationaux à Bale, les
représentants des banques centrales de dix grandes économies de
l'ouest proposent de nouvelles règles amendant l'accord de Bale de 1988
et imposant aux établissements financiers un niveau de fonds propres
proportionnels aux risques résultant de leurs engagements.
Officiellement adoptés en 1996, cette proposition incite les banques
à développer des modèles internes sophistiqués pour
calculer leurs VaR. En effet, elles peuvent ainsi espérer une
diminution des fonds propres qu'elles doivent détenir par rapport aux
montants des fonds propres exigés sur les autres banques qui se fondent
sur les modèles standard (édictés par les autorités
de tutelle pour déterminer les besoins des banques en capitaux propres).
Ainsi, dès le départ, la recherche d'un allègement des
obligations règlementaires est un important facteur de la croissance de
la VaR.
> Le deuxième évènement s'est produit
sur Internet. En 1994, la banque américaine JP Morgan a mis gratuitement
son système RiskMetrics à la disposition de tous sur Internet. Ce
système fournissait les données financières et la
méthodologie nécessaire au calcul de la VaR d'un
portefeuille. Les autres établissements financiers et les entreprises
peuvent utiliser le calculateur de VaR de RiskMétrics ou
télécharger les données sur leurs propres systèmes
de gestion des risques. Très vite, sont apparus de nouveaux fournisseurs
de programmes de gestion des risques exploitant RiskMetrics, transformant cette
méthodologie en une référence incontournable.
Un troisième évènement a probablement
moins d'impact à ce jour, mais c'est l'un des grands facteurs
d'expansion de la VaR parmi les entreprises américaines. En
1997 aux EtatsUnis, la Securities and Exchange Commission (SEC),
préoccupée des risques cachés derrière les
instruments hors bilan, a émis des règles de communication
relative aux produits dérivés employés par les entreprises
: celles-ci ont trois solutions pour faire état des risques
associés
aux instruments dérivés : tableau des valeurs de
marché, mesure de sensibilité ou VaR. C'est la raison
pour laquelle les rapports annuels de Microsoft, de Philip Morris et de bien
d'autres grandes sociétés présentent maintenant des
calculs de la VaR. Récemment, les recommandations du
comité Bale II publié en 2004 ont renforcé
l'utilité de cette notion.
En ce qui concerne la littérature, plusieurs articles
évaluent le risque de marché en se basant sur la technique de la
Valeur à Risque et ses différentes méthodes. La
VaR donne lieu à différents modèles
d'évaluation qui lient le rendement des différents actifs aux
différents facteurs de risque :
Le premier type de modèle repose sur la méthode
des Variances Covariances développée et diffusée par JP
Morgan grâce à son système RiskMetricsTM en 1996. Cette
méthode qui se base sur une évaluation locale des positions est
appelée aussi delta normal (Jorion 2001).
Le deuxième type de modèle utilisant une
évaluation complète regroupe les méthodes de simulation
historique et de Monte Carlo.
Il existe une quatrième méthode
complémentaire aux trois précédentes appelée "
Stress testing " recommandée par le régulateur pour
évaluer la qualité des modèles de contrôle interne.
Lopez (1996) compare ces méthodes et répartit les aptitudes de
chacune. Jackson et al. (1997) examinent la possibilité de
prédire la variance des facteurs de risque (taux d'intérêt,
prix de l'actif et taux de change). Ils comparent les méthodes
paramétriques et non paramétriques de la mesure de la
VaR.
CrnKovic et Drahmann (1996) examinent la possibilité de
prédire tous les paramètres de distribution des facteurs de
risque. Kupiec (1995) étudie le Backtesting pour le modèle de la
VaR et il examine la période du temps passé jusqu'au
premier échec de l'estimation. A un niveau plus tardif, le comité
de Bale adopte ces épreuves comme une base pour examiner les
modèles internes des banques. Ces études ne fournissent pas des
épreuves statistiques claires et manquent d'exactitude quant aux
méthodes d'estimation. La plupart d'entre eux traitent l'exigence
minimale du capital en utilisant plusieurs méthodes de calcul de la
variance, et aussi par l'utilisation des données historiques de
marché plutôt que des simulations.
Hendricks (1996), Pritsker (1997), Linsmeier et Pearson
(1996), Jackson et al. (1997) et Aussenegg et Pichler (1997) comparent
l'approche standard, présentée par le Comité Bale comme
une alternative pour l'estimation du risque de marché, avec toutes les
méthodes de calcul de la VaR. Ces études examinent les
avantages et les inconvénients de chaque méthode en jouant sur
les aspects suivants : le temps de calcul vis-à-vis de l'exactitude des
évaluations (Pritsker, 1997) ; l'adaptation aux régions
géographiques différentes (Powell et Balzarotti, 1996) ; l'effet
des instruments financiers inclus dans le portefeuille d'investissement
(Aussenegg et Pichler ,1997) .
Parmi les études qui examinent l'utilisation des
modèles VaR, celle de Powell et Balzarotti (1996) qui fait une
comparaison entre l'utilisation du modèle VaR et l'approche
standard dans plusieurs pays latino américains. Powell et Balzarotti
(1996) concluent que l'approche standard est préférable à
plusieurs modèles VaR. Plusieurs modèles internes font
des suppositions et des usages d'outils de mesures différentes qui
peuvent produire des résultats variables pour le même ensemble de
paramètres du marché et de position dans le portefeuille
d'investissement. En outre, les modèles VaR sont très
sensibles aux suppositions et aux données estimées, surtout dans
le contexte d'actifs qui ne sont pas fondamentalement linéaires tels que
les produits dérivés (Marshall et Seigel, 1997). Ces derniers
notent que cette sensibilité, accompagnée de la liberté
des banques dans le choix de leurs modèles internes, expose les
systèmes bancaires et de surveillances au risque.
| 
