Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

1.7 Processus du second ordre

Un processus Xt est un processus du second ordre si E|Xt|² < 00. Une série chronologique est un processus du second ordre à temps discret. On dit que le processus du second ordre Xt converge en moyenne quadratique (i.e. dans L²) vers une variable aléatoire Y quand t tend vers t0 si et seulement si sa fonction de corrélation converge quand s et t tendent vers t0 et dans ce cas

R(s,t) ---? s,t?t0

E|Y|^2

On dit que Xt un processus du second ordre est continu en moyenne quadratique si

h?0

lim E|Xt+h - Xt|² = 0

Proposition 1.1 Un processus du second ordre Xt est continu en moyenne quadratique si et seulement si sa fonction de corrélation R(t,t) est continue en t.

La continuité en moyenne quadratique n'entraîne pas la continuité des réalisations du processus. Si Xt est un processus de Poisson, sa fonction de corrélation R(s,t) = ëmin(s,t) est continue, mais presque toutes les réalisations ont des discontinuités sur un intervalle de temps fini.

2

On dit que Xt un processus du second ordre est dérivable en moyenne quadratique si la limite du taux d'accroissement (Xt+h - Xt)/h converge dans L² vers une variable notée X⁰_t .

Jiⁱ?0 fh X: = 0

Xt+h - Xt

Proposition 1.2 Un processus du second ordre Xt est dérivable en moyenne quadratique si et seulement si sa fonction de corrélation R(s,t) est dérivable en (s,t)

La dérivation en moyenne quadratique est linéaire. Si Xt est dérivable en moyenne quadratique, alors Xt est continue en moyenne quadratique.

Proposition 1.3 Si Xt est un processus du second ordre centré et dérivable en moyenne quadratique et si les dérivées partielles existent, alors

?k+1

RX(k)X(l) (s, t) = E[X^(k) (s)X^(l) (t)] = ?ks?ltRX(s,t)

En particulier, un processus stationnaire est différentiable en t si et seulement si sa fonction de corrélation R(u) admet une dérivée du second ordre en u et dans ce cas

ce⁺¹

RX(k)X(l)(u) = (-1 )k duk+1RX(u)

Si Xt est dérivable en moyenne quadratique et si Xt admet la densité spectrale SX(ù), alors le processus dérivé admet une fonction spectrale SX/(ù) donnée par

SX^,(ù) = ù²SX(ù)

Plus généralement,

= (i ù)^k (i ù)^l S _X (ù)

SX(k) X(l) (ù)

En particulier, la fonction de corrélation de la dérivée d'ordre k d'un processus Xt est

d2k

RX(k)(u) = (-1)k _du2kRX (u)

Sa fonction spectrale est donnée par la formule

SX(k)(ù) = (-1)^k(ù)^2kSX(ù)

Théorème 1.5 (Karhunen-Loève) Soit Xt un processus du second ordre pour t ? [a,b], continu en moyenne quadratique, centré. Il existe un et un seul développement, appelé développement de Karhunen-Loève de la forme

Xt(ù) =

8 ? n=1

Yn(ù)Ön(t)

ot les Y_n sont des variables aléatoires du second ordre telles que E(YiYj) = 0 si i =6 j et E(|Yi|²) = ëi ot les ëi sont les valeurs propres et les Öi sont les vecteurs propres de l'opérateur R : L² ? L² symétrique compact

b

Rf(s) = Z R(s,t)f(t)dt

vérifiant

Za b R(s,t)Ö_n(t)dt = ë_nÖ_n(t)

Exemple 1.2 Pour un mouvement brownien {Wt,0 = t = 1} (Chapitre 2 Section 2.2.3), le développement s'écrit pour une suite de variables aléatoires Z_n de loi normale centrée réduite N(0,1) telles que E|Z_n|² = 1,

Wt = v2

8 ? n=1

sin(n + 1/2)ðt Zn (n+ 1/2)ð

Et pour un pont brownien standard {Xt,0 = t = 1} (Chapitre 2 Section 2.9.2), nous avons le D.K.L

8

?

n=1

Xt = v2

sin(ðnt)

ðn

Zn