1.8 Processus ergodiques
Un processus du second ordre Xt de moyenne
m(t) et de fonction de corrélation
R(s,t) est ergodique si
R(s,t)dsdt-mq?
0
1
T
I
0
T2
T
I
0
1
T
T
I
0
ce qui équivaut à
(Xt -
m(t))dt-mq? 0
si Xt est stationnaire, Xt est ergodique si et
seulement si
0
R(ô) ---?
|ô|?8
ou :
lim
T?8
T 1 - T) R(ô)ch = 0
1 fT ( ô
Ainsi la connaissance de la fonction de corrélation et de
la moyenne permet de déterminer si le processus est ergodique.
1.9 Martingales et temps d'arrêt
Les martingales à temps discret ou à temps continu
sont l'outil essentiel du probabiliste. Elles permettent d'établir de
nombreux résultats.
Définition 1.8 Soit
(Ù,A,P) un espace de probabilité, muni d'une filtration
(Ft)t=0. Un processus à valeurs réelles
(Mt)t=0 est une Ft-martingale si :
- il est adapté à la filtration
(Ft)t=0, ce qui veut dire que pour tout t, Mt
est Ft-mesurable. - chaque variable Mt est
intégrable, et :
s = t E(Mt|Fs) =
Ms
on dit que Mt est une Ft-sur-martingale (resp.
Ft-sous-martingale) si l'égalité ci-dessus est
remplacée par:
E(Mt|Fs) = Ms
(resp.E(Mt|Fs) =
Ms)
En particulier, l'espérance E(Mt) d'une
martingale, (resp. d'une sur-martingale, sous-martingale), est une fonction
constante du temps (resp. décroissante, croissante). De manière
évidente, une martingale est un processus qui est à la fois une
sur-martingale et une sous-martingale et si Mt est une martingale,
alors -Mt est une sous-martingale.
Propriété 1.1 (1).
(Mt)t=0 est une martingale si et seulement si
(Mt)t=0 est à la fois une surmartingale et une
sous-martingale.
(2). (Mt)t=0 est une sous-martingale si et
seulement si (-Mt)t=0 est une sur-martingale.
(3). La somme de deux martingales (resp. sous-martingale,
sur-martingale) est une martingale (resp. sous-martingale, sur-martingale).
1.9.1 Temps d'arrêt
Cette notion joue un rôle très important en
théorie des probabilités.
Définition 1.9 Soit
(Ft)t=0 une filtration. Une application T : Ù
7? [0,8[ est un temps d'arrêt si {T = t} ?
Ft pour tout t = 0.
Un temps d'arrêt est donc un temps aléatoire, tel
que sur chaque ensemble {ù : T(ù) = t},
l'application ù 7? T(ù) dépend seulement de ce
qui s'est passé avant le temps t.
Un joueur honnête, qui ne peut pas anticiper sur les
événements futurs, peu décider d'arrêter le jeu au
temps aléatoire T uniquement si T est un temps
d'arrêt. Un exemple trivial de temps d'arrêt est donné par
T(ù) = t pour tout ù.
En dehors des temps constants, l'exemple fondamental de temps
d'arrêt est le temps d'atteinte d'un ensemble borélien
A par un processus Xt à trajectoires continues
à droite et adapté à la filtration Ft. On
définit plus précisément :
T = inf(t = 0;Xt ? A)
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