1.4 Processus stochastiques établi à
partir de la distribution gamma
La distribution gamma, caractérisée par les deux
paramètres á et â, se définit comme suit :
f(x|á,â) = â á
á-1 p ( -;)
(á)x ex où (á) est la
fonction gamma définie comme :
(á) =
yá-1
0 exp(-y)dy
A noter que si á = n et que n est un
entier, on a alors le résultat suivant :
(n) = (n--1)!
La moyenne d'une variable aléatoire X qui
obéit à une distribution gamma est de :
E(X) = áâ
Et sa variance est de :
var(X) = áâ2
La figure 1.3 montre l'évolution d'un tel processus.
Comme on peut le constater à la lecture de cette figure, de nombreux
sauts se manifestent dans un tel processus stochastique, en ce sens que ces
sauts s'éloignent de beaucoup plus d'écart-types de la moyenne
que ne l'autorise la distribution normale.
FIGURE 1.3 - Processus aléatoire établi à
partir de la distribution (0.5,2).
1.5 Processus stochastiques établi à
partir de la distribution de Student
La distribution de Student est une autre distribution qui est de
plus en plus utilisée dans la modélisation des prix des produits
dérivés.
Soit Z une N(0,1) et
÷2r) une variable aléatoire Chi-deux
avec r degrés de liberté. Alors (
T = Z a une distribution Student qui
est notée St(r). Elle est symétrique
autour de 0, mais
\14)/r
tend vers la distribution normale lorsque le nombre de
degrés de liberté se dirige vers l'infini.
La figure 1.4 prend acte de l'évolution d'un tel
processus. Encore une fois, des sauts très apparents se font jour lors
du déroulement du processus stochastique de la série, ils sont
d'autant plus amples que l'on réduit le nombre de degrés de
liberté de la distribution de Student.
FIGURE 1.4 - Processus aléatoire établi à
partir de la distribution St(2).
1.6 Processus de Markov
Soit (S ,A,P) un espace de probabilité et
(E,B) l'espace des états, B désigne la tribu des
boréliens de E, Un processus Xt est un processus
de Markov si pour tout u et t = 0 et pour tout
A ? B, on a
P(Xt+u ?
A|Xs,s = t) =
P(Xt+u ? A|Xt)
Ce qui signifie que le processus ne dépend que du dernier
instant et non de toute son histoire
P(Xtn < xn|Xtn-1=
xtn-1,...,Xt1 = xt1) = P(Xtn
< xtn|Xtn-1 = xtn-1)
Pour démontrer qu'un processus est un processus de
Markov, il suffit de montrer par le théorème
de classe
monotone que pour tout n, pour tous réels t1 =
t2 = ··· = tn et pour toute
fonction f
borélienne bornée
E(f (Xtn)) = E(f
(Xtn)|Xtn-1)
La probabilité de transition pour passer de
l'état x au temps s à un état
appartenant à A à l'instant t est notée
pour s < t
Ps,t(x,A) =
p(s,x;t,A) = P(Xt ?
A|Xs = x)
La fonction A 7?
p(s,x;t,A) est une probabilité
sur B. La probabilité de transition vérifie l'équation
de Chapman-Kolmogorov qui s'écrit sous les formes suivantes.
Soit s < u < t tel que Xu
= y, on a
Ps,t(x,A)
=LPs,u(x,dy)Pu,t(y,
A)
et dans le cas d'un espace E dénombrable
Ps,t(x,z) = L
Ps,u(x,y)Pu,t(y,z)
y?E
Si on note pt0(A) la distribution
de Xt0
pt0(A) = P(Xt0 ?
A) alors pour tous réels t0 < t1 <
··· < tn,
n-1
(Xt1 ? B1,...,Xtn ?
Bn) = f ;tk
Pto(dX0)
P
nf
p(tk_i,xk_,,dxk)p(tn-1,xn-1;tn,Bn)
k=1 Bk
En particulier,
P(Xt ? B) = f
p(t0,x;t,B)pt0(dx)
Le processus Xt est un processus de Markov
homogène si pour tout s et t de T, la
transition
p(s,x;t,B) =
p(x,T,B)
ne dépend que de
·r = t -s. Les
opérateurs Ps,t = Pt-s sont
notés simplement Pt. Ils forment dans le cas homogène un
semi-groupe. On a PtPs = Pt+s,
pour tout s,t > 0.
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