Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

1.4 Processus stochastiques établi à partir de la distribution gamma

La distribution gamma, caractérisée par les deux paramètres á et â, se définit comme suit :

f(x|á,â) = â á á-1 p ( -;)

(á)^{x ex} où (á) est la fonction gamma définie comme :

(á) =

_yá-1

0 exp(-y)dy

A noter que si á = n et que n est un entier, on a alors le résultat suivant :

(n) = (n--1)!

La moyenne d'une variable aléatoire X qui obéit à une distribution gamma est de :

E(X) = áâ

Et sa variance est de :

var(X) = áâ²

La figure 1.3 montre l'évolution d'un tel processus. Comme on peut le constater à la lecture de cette figure, de nombreux sauts se manifestent dans un tel processus stochastique, en ce sens que ces sauts s'éloignent de beaucoup plus d'écart-types de la moyenne que ne l'autorise la distribution normale.

FIGURE 1.3 - Processus aléatoire établi à partir de la distribution (0.5,2).

1.5 Processus stochastiques établi à partir de la distribution de Student

La distribution de Student est une autre distribution qui est de plus en plus utilisée dans la modélisation des prix des produits dérivés.

Soit Z une N(0,1) et ÷²_r) une variable aléatoire Chi-deux avec r degrés de liberté. Alors (

T = Z a une distribution Student qui est notée _St(r). Elle est symétrique autour de 0, mais

\14₎/r

tend vers la distribution normale lorsque le nombre de degrés de liberté se dirige vers l'infini.

La figure 1.4 prend acte de l'évolution d'un tel processus. Encore une fois, des sauts très apparents se font jour lors du déroulement du processus stochastique de la série, ils sont d'autant plus amples que l'on réduit le nombre de degrés de liberté de la distribution de Student.

FIGURE 1.4 - Processus aléatoire établi à partir de la distribution St(2).

1.6 Processus de Markov

Soit (S ,A,P) un espace de probabilité et (E,B) l'espace des états, B désigne la tribu des boréliens de E, Un processus Xt est un processus de Markov si pour tout u et t = 0 et pour tout A ? B, on a

P(Xt+u ? A|X_s,s = t) = P(Xt+u ? A|Xt)

Ce qui signifie que le processus ne dépend que du dernier instant et non de toute son histoire

P(Xt_n < xn|Xtn-1= xtn-1,...,Xt1 = xt1) = P(Xt_n < xtn|Xtn-1 = xtn-1)

Pour démontrer qu'un processus est un processus de Markov, il suffit de montrer par le théorème
de classe monotone que pour tout n, pour tous réels t1 = t2 = ··· = t_n et pour toute fonction f

borélienne bornée

E(f (Xt_n)) = E(f (Xtn)|Xtn-1)

La probabilité de transition pour passer de l'état x au temps s à un état appartenant à A à l'instant t est notée pour s < t

Ps,t(x,A) = p(s,x;t,A) = P(Xt ? A|X_s = x)

La fonction A 7? p(s,x;t,A) est une probabilité sur B. La probabilité de transition vérifie l'équation de Chapman-Kolmogorov qui s'écrit sous les formes suivantes. Soit s < u < t tel que X_u = y, on a

Ps,t(x,A) =LPs,u(x,dy)Pu,t(y, A)

et dans le cas d'un espace E dénombrable

Ps,t(x,z) = L Ps,u(x,y)Pu,t(y,z)

y?E

Si on note pt₀(A) la distribution de Xt0

pt₀(A) = P(Xt0 ? A) alors pour tous réels t0 < t1 < ··· < tn,

n-1

(Xt1 ? B1,...,Xt_n ? B_n) = f ;tk

Pt_o(dX0)

P

nf p(tk_i,xk_,,dxk)p(tn-1,xn-1;tn,Bn)

k=1 Bk

En particulier,

P(Xt ? B) = f p(t0,x;t,B)pt₀(dx)

Le processus Xt est un processus de Markov homogène si pour tout s et t de T, la transition

p(s,x;t,B) = p(x,T,B)

ne dépend que de
·r = t -s. Les opérateurs Ps,t = Pt-s sont notés simplement Pt. Ils forment dans le cas homogène un semi-groupe. On a PtP_s = Pt+_s, pour tout s,t > 0.