Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

1.3 Processus stochastiques particuliers

Définition 1.3 (Processus strictement stationnaire) Un processus Xt est strictement stationnaire si pour tout entier n et pour tous réels t1,t2,...,t_n et pour tout h, les variables aléatoires (Xt1,Xt2,...,Xt_n) ^et (Xt1+h,Xt2+h,...,Xt_n+h) ont même loi.

Définition 1.4 (Processus stationnaire) Un processus Xt est stationnaire (ou faiblement stationnaire) si :

- son espérance E(Xt) est une constante indépendante du temps t.

- sa fonction de corrélation R(s,t) ne dépend que de la différence ô = t - s.

- R(ô) est continue (à l'origine).

Si Xt est un processus stationnaire, sa fonction de corrélation est continue en 0 et définie positive. La fonction

R(ô)

Ö(ô) = R(0)

est une fonction caractéristique d'après le théorème 1.3 de Bochner. Par conséquent, il existe une fonction Z(ù) appelée fonction de répartition spectrale telle que Z(ù) s'annule au voisinage de -8, et reste fini lorsque ù tend vers +8 telle que

Z +8

R(ô) = -8 eiùôdZ(ù)

De plus, si Z est absolument continue, il existe une fonction S(ù) appelée densité spectrale du processus Xt, telle que S(ù) = dZ(ù)/dù et

+8 .

R(ô) = f e^iùôS(ù)dù

Par application de la transformée de Fourier inverse, si f |R(ô)|dô < 8 alors la densité spectrale est donnée par

S(ù) = 1 f +8 _e- i

^ùôR(ù)dù

2ð _8

Exemple 1.1 Un bruit blanc est un processus stationnaire dont la densité spectrale est constante SX(ù) = a. Sa fonction de corrélation est donc de la forme RX(ô) = aä(ô). Un tel processus contient toutes les fréquences (d'oil son nom de bruit blanc). Sa variance n'est pas bornée, il n'est donc pas réalisable en théorie.

Les figures 1.1 et 1.2 montre une seule trajectoire simulée d'un bruit blanc gaussien, avec sa densité spectrale estimée.

FIGURE 1.1 - Bruit blanc gaussien avec m = 0 et ó² = 1.

FIGURE 1.2 - Densité spectrale d'un bruit blanc gaussien.

Définition 1.5 (Processus à accroissements indépendants) Un processus Xt est un processus à accroissements indépendants si pour tous réels t1 < t2 <
·
·
· < t_n, les variables aléatoires Xt0,Xt1 - Xt0,...,Xt_n - _Xtn-1 sont indépendantes. Si Xt est un processus à accroissements indépendants, alors pour tout s et t tels que 0 < s < t, Xt -X_s est indépendant de as = ó(X_u,u < s). La loi de Xt est entièrement déterminée par la loi de Xt - X_s.

Définition 1.6 (Processus à accroissements indépendants stationnaires) Un processus Xt est un processus à accroissements indépendants stationnaires si Xt est un processus à accroissements indépendants et si Xt -X_s a même loi que _Xt-s. Si Xt est un processus à accroissements indépendants, alors sa fonction caractéristique s'écrit

Öt1,...,t_n(x1,...,xn) = Öt1(x1 + ··· + xn)Öt1,t2(x2 + ··· + xn)...Öt_n-1,t_n(xn)

avec

Öti,ti+1(x) = E[expix(Xti+1 - Xt_i)]

si Xt est un processus à accroissement indépendants stationnaires alors sa loi est indéfiniment divisible. La loi du processus Xt est entièrement déterminée par la loi de X1.

Théorème 1.4 Soit Xt un processus à accroissement indépendants stationnaires, (at) la filtra-
tion engendrée par le processus Xt et T un temps d'arrêt. Alors le processus Yt = XT+t - Xt est
un processus à accroissements indépendants stationnaires de même loi que Xt et indépendant de

T.

Définition 1.7 (Processus gaussien) Un processus Xt est gaussien si pour tout entier n et pour tous réels t1,t2,...,t_n les variables aléatoires (Xt1,Xt2,...,Xt_n) ont une distribution gaussienne. Si on note m(t) l'espérance de Xt et R(s,t) la fonction de corrélation du processus, sa fonction caractéristique s'écrit

(Öt1 ,...,tn (x1 , . . . , xn) = E expi		n ? j=1		xjXtj (ù))
(= exp i	n ? j=1		^n 1 xjm(tj) - ? 2 j=1		n ? k=1	)xjxkR(tj,tk)

un processus gaussien est entièrement déterminé par la donnée de sa valeur moyenne m(t) et de sa fonction de corrélation R(s,t).