Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

3.2.5 La règle de multiplication

La règle de multiplication ou intégration par parties est utile lorsque nous voulons étudier, par exemple le comportement du prix actualisé d'un actif lorsque nous connaissons les processus pour l'évolution du prix de l'actif et celui du facteur d'actualisation.

Théorème 3.1 (Intégration par parties) Soit Xt et Yt deux processus d'Itô tels que

dXt = utdt + ótdWt et dYt = ^-utdt +^-ótdWt (3.12)
la formule d'Itô (3.10) conduit à la formule d'intégration par parties

dXtYt = XtdYt +YtdXt + d(X,Y)t

(3.13)

= (^-utXt + uYt + ót^-ót)dt + (^-ótXt + óYt)dWt

où la variation quadratique est caractérisée par

d(X,Y)t = ót^-ótdt

Preuve En particulier lorsque les browniens sont les mêmes et que la matrice B(t) se réduit à un vecteur, la dérivée s'écrit

df = ( ?t f + _ut?x f +^-ut?_y f + 2 t

(ó²?_xx f +2ót^-ót?xy f + ó?yy f)) dt + (ót?x f + ^-ót?y f)dWt appliquons cette formule a la fonction f(t,x,y) = xy, on trouve directement le résultat

dXtYt = (utYt +^-utXt + ót^-ót)dt + (ótYt +^-ótXt)dWt

= utYtdt +^-utXtdt + ót^-ótdt + ótYtdWt +^-ótXtdWt

= Yt(utdt + ótdWt) + Xt(^-utdt + ^-ótdWt) + ót^-ótdt

= XtdYt +YtdXt +d(X,Y)t

Exemple 3.4 (La valeur actualisée d'un actif risqué) Supposons que le processus stochastique St satisfaisant l'équation (3.8), est l'évolution du prix d'un titre risqué. Le processus {Yt = _e--rt ,t > 0} est notre facteur d'actualisation. Notons que

d dtYt = --re^--rt = --rYt

c'est-à-dire que le processus Yt est un processus d'Itô satisfaisant l'équation différentielle

dYt = --rYtdt

le processus Zt = YtSt represente l'evolution de la valeur actualisee du prix du titre. La règle de multiplication (3.13) entraîne que

dZt = dYtSt

= YtdSt + StdYt + d(S,Y)t

= Yt(èStdt + óStdWt)+ St(--rYtdt)

= (è -- r)StYtdt + óStYtdWt

= (è -- r)Ztdt + óZtdWt

sous sa forme integrale, cette dernière equation s'ecrit

t t

f

Zt = Z0 + (è -- r) f Z_sds

+ ó ZsdWs 0 0