3.3 Equations différentielles stochastiques
3.3.1 Introduction et définitions
De manière informelle, on appelle equation
differentielle stochastique une equation differentielle ordinaire perturbee par
un terme stochastique. Plus precisement, c'est une equation du type suivant
:
dXt = u(t,Xt)dt
+ó(t,Xt)dWt, X0 = x0
(3.14)
Dans cette equation, dWt est la differentielle d'un
mouvement brownien standard Wt, et u, ó sont les
coefficients de l'equation (ce sont des fonctions de R+ x R dans R),
et x0 E R est la valeur initiale. Tous ces termes sont donnes. La
notation (3.14) est la plus usuelle.
Définition 3.1 Rechercher une solution de
l'equation (3.14) consistera à rechercher un processus
{Xt,t > 0f satisfaisant l'equation integrale :
t t
Xt = x0 + f
u(s,Xs)ds + f
ó(s,Xs)dWs (3.15)
0 0
oil la seconde integrale est une integrale stochastique.
L'equation (3.14) ou l'equation (3.15) etaient jusqu'à
present unidimensionnelles. On peut egalement definir une equation
d-dimensionnelle de la manière suivante. Le processus
inconnu
s tX = (Xi)1 <1
.<d est une famille de processus a valeurs reelles Xi
= (Xi)t>0, la condition initiale
_ _ _
x0 = (xi0 ) 1<i<d
appartient à Rd, le mouvement brownien W
= (W /) est q-dimensionnel,
1<j<q
et les coefficients ont les dimensions appropriees, soit
u = (ui)1<i<d et ó =
(ói,j)1<i oil
<d,1<j<q'
les coefficients ui et
ói,j sont des fonctions de R+ x
R dans R. On ecrit encore l'equation sous les formes (3.14) ou (3.15), mais
cela signifie maintenant que l'on a :
t
i
Xit =xi + f
p(s x)ds+ ?
ai,j(s,Xs)dWsj;i=
1, .. . ,d (3.16)
j=1
0 , s q ft --
o 0
Définition 3.2 Quand les coefficients
p et a ne dependent pas du temps et sont seulement des fonctions
définies sur Rd, on dit que l'équation est
homogène.
Le coefficient p est appelé le
coefficient de dérive, tandis que a est le
coefficient de diffusion. Un processus qui résout
l'équation (3.14), ou de manière équivalente (3.16), est
appelé processus de diffusion ou, plus simplement, une
diffusion.
Définition 3.3 (Processus de diffusion)
Un processus de diffusion est un processus de Markov à
trajectoires continues vérifiant l'équation d'Itô (3.14).
Soit (Xt)t=0 un processus aléatoire défini sur
l'espace de probabilité (Ù,A,P) à valeurs
réels, muni d'un filtration (Ft,t = 0). On dit que
Xt est une processus de diffusion caractérisée par
(1) la limite donnant la dérive
|
lim
h?0
|
E(Xt+h -Xt|Xt =
x)
|
= p(x,t)
|
|
h
|
(2) la limite donnant la diffusion
|
lim
h?0
|
E((Xt+h -Xt)2|Xt
= x)
|
= a2(x,t)
|
|
h
|
(3) la condition de Dyukin
|
?å > 0, lim
h?0
|
P(|Xt+h -Xt| > å|Xt
= x)
|
= 0
|
|
h
|
Remarque 3.2 Le mouvement brownien standard est
un processus de diffusion avec coefficient de dérive nulle et
coefficient de diffusion égale à 1.
Preuve
1
1
lim h?0 h
E(Wt+h -Wt|Wt = x) =
lim
h?0 h
E(Wt+h -Wt|Wt -W0 =
x)
= lim
1 hE(Wt+h -Wt)
h?0
1
= lim h(E(Wt+h) -
E(Wt)) = 0
h?0
lim 1
h?0 h
E((Wt+h -Wt)2|Wt =
x) = lim hE((Wt+h
-Wt)2|Wt -W0 = x)
1
h?0
1
= limhE~(Wt+h
-Wt)2~ h?0
1
= lim hh = 1
h?0
Exemple 3.5 Le processus
d'Ornstein-Uhlenbeck est la diffusion solution de l'équation
(de langevin Section 3.3.3)
dXt = -rXtdt +ódWt
où r et ó sont des constantes positives et
Wt un processus de Wiener standard. On suppose de plus qu'à
l'instant initial X0 = x0. En posant
Yt = Xtert
et en appliquant la formule d'Itô (3.7) à la
fonction f(t,x) = xert, on
obtient
dYt = óertdWt
sous forme intégrale
Z t
Yt = Y0 + ó
ersdWs
t0
d'où la solution pour t = t0,
Z t
Xt =
Xt0e-r(t-t0)
+ ó
e-r(t-s)dWs
t0
En notant x0 = E(Xt0), le processus
d'Ornstein-Uhlenbeck a pour moyenne
E(Xt) =
x0e-r(t-t0)
En appliquant la formule d'Itô au processus Zt =
X2 t , on a
dZt = -2rZtdt + ó2dt
+ 2ódWt
En prenant la moyenne, on trouve en résolvant une
équation différentielle ordinaire
(
E(Zt) = E(X2 t ) =
ó2 1 - e-2r(t-t0)) + E(X2
t0) 2r
D'où la variance du processus
d'Ornstein-Uhlenbeck
(
var(Xt) = E(X2 t ) -
[E(Xt)]2 = ó2 1 -
e-2r(t-t0))
2r
La fonction de corrélation du processus
d'Ornstein-Uhlenbeck vaut
ó2 e-r|t-s|
R(t,s) =
2r
Nous pouvons simuler une trajectoire du processus
d'Ornstein-Uhlenbeck comme suit. On considère la subdivision de
l'intervalle de temps [t0,T] suivante t0 <
t1 < ··· < tN < tN+1 =
T, avec ti+1 -ti = Ät, pour
i = 1 on a W(t0) = W(t1) = 0 et
X(t0) = x0, on a l'algorithme suivant :
1. Générée un nouveau variable
aléatoire Z de la distribution gaussienne N(0,1).
2. i = i+1. v
3. W(ti) = W(ti-1) + Z
Ät.
4. Ii =
e-r(ti+1-ti)(Wi+1
-Wi)
5. X(ti) =
X(t0)e-r(ti-1-t0)
+ a?i j=1 Ij.
6. Si i = N + 1, réitérez a
l'étape 1.
La fonction OU permet de simuler une seule trajectoire de Xt
dans l'intervalle [t0,T] avec un pas Ät =
(T -t0)/N, et la fonction OUF permet de simuler un
flux de Xt.
R> OU(N = 1000, t0 = 0, T = 10, x0 = 10, r = 2, sigma = 1)
R> OUF(N = 1000, M = 100, t0 = 0, T = 10, x0 = 10, r = 2,
sigma = 1)
FIGURE 3.2 - Trajectoire d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec
r = 2 et a = 1.
FIGURE 3.3 - Flux d'un processus d'OrnsteinUhlenbeck avec r
= 2 eta = 1.
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