Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

3.2.2 L'intégrale de Stratonovitch

Qui est définie par la limite quadratique

Za	lim? ^nf(ti,ù )+ f (ti+1,ù) (Wti+1 -Wt-i) b f(t,ù)?dW(t,ù) = 2 i=0

satisfait les règles du calcul différentiel ordinaire. En reprenant le calcul précédent pour ë = 1/2, on trouve

_ft

I1/2 = J

r0

ws ? dW_s = 21 [Wt 2 Wt02]

Dans ce cas, il n'y a pas de terme supplémentaire. On préfère toutefois développer le calcul stochastique en utilisant la définition d'Itô.

La fonction ItovsStra permet de simuler l'intégrale stochastique I0 par les deux types Itô et Stratonovitch, sur l'intervalle de temps [0,T] avec un pas Ät = T/N.

Nous avons observé lors de la construction de l'intégrale stochastique I0 au sens d'Itô dans la figure 3.1, que les trajectoires du processus {J 0 t W_sdW_s,0 < t < T} pouvaient être négatives à certains instants.

R> ItovsStra(N = 1000, T = 1)

FIGURE 3.1 - Simulation l'intégrale stochastique f 0 t WsdWs vs J 0 t W_s ?dW_s.

3.2.3 Processus d'Itô

On appelle processus d'Itô, un processus {Xt,0 < t < T} à valeur dans R tel que :

Z t Z t

Xt = X0 + ₀ p_sds + 0 asdWs (3.4)

avec

(1) p = {pt,0 <t < T} eta = {at,0 <t < T} sont des processus adaptés à la filtration {Ft}t=0

[i T i

(2) P ₀ |p_s|ds < 8 = 1

[i T ]

(3) P ₀ |ó_s|²ds < 8 = 1

Écrit sous sa forme différentielle, le processus d'Itô devient

dXt = utdt + ótdWt (3.5)

Remarque 3.1 Par conséquent, si le coefficient de dérive est nul, c'est-à-dire que ut = 0 pour tout 0 = t = T, alors le processus d'Itô Xt

Z t

Xt = X0 + 0 ósdWs (3.6)

[i 0 T |ós|2]

est une t-martingale si et seulement si E ds < 8 est vérifier.

3.2.4 Formule d'Itô

Pour un processus stochastique Xt vérifiant

Z t2 Z t2

X(t2) - X(t1) = u(t)dt + ó(t)dWt

t1 t1

on note sous forme différentielle

dXt = u(t,Xt)dt + ó(t,Xt)dWt

Si f (t,x) est une fonction de classe C², alors f (t,Xt) admet une intégrale stochastique par rapport au même processus de Wiener donnée par la formule d'Itô

(?f(t,Xt) ~

?t + u(t)? f (t,Xt)

d f (t,Xt) = ?x + ¹ 2ó2(t)?2 f (t,Xt) dt + ó(t)? f (t,Xt)

?x dWt (3.7)

?x²

Cette formule permet de trouver les solutions de l'équation différentielle stochastique (3.3), et le calcul d'espérance d'un processus donné. Elle permet aussi de montrer que certains processus sont des martingales (puisque l'intégrale stochastique est une martingale).

Par exemple, si f (x) = x², alors

f (Wt) = W2 t et f (W0) = W2 0 = 0

et

? f ?² f

_?w(Ws) = 2W_s et ?w2 = 2.

En remplaçant dans la formule (3.7), nous obtenons

dW²

t = dt + 2WtdWt

sous forme intégrale

Wt 2 = 2 f WsdWs + f ds = 2 f WsdWs +t

0 0 0

ce qui implique

L.

t W2 t -t

WsdWs = 2

D'une manière générale la dérivé stochastique du processus Xt = Wn t . Posons f(t,x) = xⁿ et appliquons la formule d'Itô. Il vient

1

dWt n = 2 n(n-1)W_t ^n-2dt +nW_t ^n-1dwt

sous forme intégrale

1 n-1 ft

W^n-2ds

on 2

Wt = n(n --1) f W^n-2ds+n f

, 2 0 s _wn- 1 dWs ^f W^n-1dW_s = 1 Wtn

0

Pour n = n+ 1, on obtient

fo

1 ⁿ f t

WⁿdW = Wⁿ⁺ⁱ - W_s ^n-1ds

s s n1 t 2 0

Exemple 3.2 Soit le mouvement brownien géométrique oil le modèle de marché de Black et Scholes (Chapitre 2 Section 2.8)

dSt = èStdt +óStdWt (3.8)

on chercher une solution unique explicite à ce modèle, nous appliquons la formule d'Itô (3.7) à l'équation (3.8), posant f (t,x) = ln(x), on a

dln(St) = ₍0 +èSt ¹ + ¹ ó²S² dt +óSt 1 dWt

St 2 t S2 St

t

~ = - 12 ó²) dt + ódWt sous forme intégrale

~ln(St) = ln(S0) + è -

0

1 ^a2) f ^{t d s} + ^a I dW s

0 rt

2

= ln (S0) + (è - ₂ó²) t + óWt

1

d'oil la solution de l'équation (3.8), pour t = 0 et S0 > 0 est

~~ ~ ~

è - ó2

St = S0 exp t + óWt

2

Exemple 3.3 Soit à calculer la dérivée stochastique du processus Yt = e^Wt, oil Wt est un mouvement brownien standard. Posons Xt = Wt, f (t,x) = e^x et appliquons la formule (3.7). il vient

1

d (eWt) = ₂e^Wtdt + e^WtdWt

soit sous forme intégrale

eWt = 1 + 12 o ft e^Wsds + f te^WsdW_s

o

En prenant l'espérance de chaque membre et en appliquant les règles de calcul du paragraphe précédent (l'espérance de l'intégrale en dW_s est nulle).

^t

E (eWt) = 1 + 2 JO E (eWs) ds

1

En posant

y(t) = E(eWt)

l'équation précédente est une équation différentielle du premier ordre déterministe en y(t) avec comme condition initiale y(0) = 1

y (t) = 21 y(t)

qui admet comme solution y(t) = E(eWt) = e^t/²

Remarquons que l'application de la formule d'Itô à la fonction f (t,x) = e^iux permet le calcul de la fonction caractéristique de Wt.

=

E (_eiuWt) _e-tu²/2

Formule d'Itô Multidimensionnel

Soit Xt un processus de dimension m vérifiant l'équation

dXt = A(t)dt + B(t)dWt (3.9)

oil A(t) = (u1(t),...,u_m(t)) et B(t) = (óij(t)) est une matrice m x n. Le mouvement brownien étant de dimension n Wt = (W1(t),...,W_n(t)). Soit f (t,x) une fonction définie pour t E [a,b] et x un vecteur de R^m à valeurs dans Rp de classe C², alors le processus f (t,Xt) admet une dérivée stochastique donnée par

df (t ,Xt) = + 2, ui(t) + L ? ói,k(t)ó k(t) i, ?x2

?t i=1 ?x 2 k=1i, j=1 ?2 f(t,Xt)) dt

(?f (t ,Xt) _`--,^m ?f (t ,Xt) 1 ,-ⁿ -, m

(3.10)

n

+ ?

k=1

m

?

i=1

? f(t,Xt)
ói,k(t) dWk(t)
?x

Dans le cas, oil la fonction f est indépendante du temps et Xt = Wt est une mouvement brownien sur Rⁿ, la formule d'Itô se simplifie en

t

f(Wt) = f(W0)+ _f ?f(W,0dW_s + 1 f ^t Äf (WOds (3.11)

0 2 0