Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

3.2 Intégrale stochastique

3.2.1 L'intégrale d'Itô

On considère une espace de probabilité (Ù,.i,P) muni d'une filtration 3t, i.e. une suite de tribus croissantes pour l'inclusion. On appelle tribu des prévisibles sur Ùx [0,8[ la plus petite tribu rendant mesurable tous les processus continus adaptés à la filtration 3t. Un processus ou un ensemble est prévisibles s'il est mesurable par rapport à cette tribu. Supposons donné un processus de Wiener standard Wt, adapté à la filtration 3t et tel que pour tout 0 s t l'accroissement Wt(ù) -W_s(ù) soit indépendant de 3t. Sur un intervalle de temps [a,b], on note H² l'ensemble des processus f(t,ù) définis pour t E [a,b], 3t-mesurable et de carré intégrable presque sûrement. Dans ces conditions, si f est dans H² et si a = t0 < t1 < ··· < t_n < tn+1 = b est subdivision de l'intervalle [a,b], alors f est indépendant des incrementsWt_j+1 -Wtj, en d'autre termes f est prévisible. Pour toute fonction f de H², on définit l'intégrale stochastique d'Itô comme la limite dans L² des accroissements ci-dessous (on notera que toutes les limites de cette section sont des limites quadratiques, i.e. dans L²). On définit ainsi l'intégrale stochastique comme la limite des sommes Riemann.

Za

b n

f(t,ù)dW(t,ù) = lim ?f(ti,ù)(W(ti+1) -W(ti))

^n?8i=0

Cette définition est cohérente avec les propriétés usuelles de l'intégrale. On a de plus quelques propriétés complémentaire liées à la dépendance aléatoire de f

(1) Si f ? H² et si f_a^b E(f²(t))dt < 8, alors

Za b E(f²(t))dWt = 0

(2) Si f ,g ? H² et si R b ~E~ f ²(t) + Eg²(t)dt < 8, alors

a

~Z b ~~Z b ~ Z b

E _a f (t)dWt a g(t)dWt = a E(f (t)g(t))dt

En particulier, on a

~Z b _~2 Z b

a E f ²(t)dt

E _a f (t)dWt =

Le résultat suivante montre que l'intégrale stochastique est une martingale. Si f (t,ù) ? H² et si pour tout t ? [a,b], la somme f_a^b E(f²(t))dt < 8, alors l'intégrale stochastique

Z b

a

f (t,ù)dW(t,ù)

est une martingale (la démonstration dans la page 40) est ces trajectoires sont p.s. continues.

Exemple 3.1 Calcul de I0 = ft₀^tWsdWs

Considérons la subdivision de l'intervalle [t0,t] : t0 < t1 < ··· < t_n < tn+1 = t et appliquons la définition. On rappelle que toutes les limites sont des limites prises dans L²

I0 = lim

n ? i=0

wti [Wti+1 -wti]

En considérant la somme

I1 = lim

n ? i=0

Wti+1 [Wti+1 -wti]

on peut former la différence et appliquer les propriétés du mouvement brownien

I1 -I0 = lim

n ? i=0

[Wti+1 -Wti]^2 = t -t0

De manière générale, considérons

Ië = (1 -ë)I0 +ëI1

On a Ië = lim	n ? i=0			[ëwti+1 + (1 - ë)Wti][Wti+1 -^wti]
= lim	?n h ti + ë~Wti+1 -Wti ~2i WtiWti+1 -W2 i=0
= lim	n ? i=0	h i ~ ~ 1 W2 ti+1 -W^2 ë - 1 + (t -t0) ti 2 2

~ ~

1 ~W2 ~ +

= t -W² ë - 1 (t -t0)

t0

2 2

d'où la valeur de l'intégrale d'Itô obtenue pour ë = 0

rt 1t - t0

I0 = J2 iW2 -W0 J

2i

2

t0

Remarquons que ce type de calcul ne respecte pas les lois du calcul différentiel ordinaire puisqu'on voit apparaître un terme supplémentaire. Pour t0 = 0 l'équation

ft_o

WsdWs =¹ 2W2 t - t 2

peut s'écrire

Wt 2 = Z ds + 2 f W_sdW_s

soit sous forme différentielle

dW_t² = dt +2WtdWt

ce qui montre clairement le terme supplémentaire (dt). Dans les calculs stochastiques, la dérivation doit être poursuivie à l'ordre 2, les termes croisés sont nuls dWt · dt = dt · dWt = 0, de même que le terme dt · dt = 0. En revanche, le terme dWt · dWt = dt donne naissance à un terme supplémentaire.