2.10.2 La loi du temps d'atteinte du mouvement brownien
Soit Wt un mouvement brownien, les martingales
exponentielles permettent de calculer les lois des temps de passage. Soit a
> 0, on définit Ta le temps d'arrêt
(Chapitre 1 Section 1.9.1), avec T0 = 0
Ta = inf{t > 0 : Wt =
a}
représentant le premier instant où le mouvement
brownien atteint la valeur a. On pose Ta
=
inf(/0) = 8. On peut calculer la transformée de Laplace de
la variable aléatoire Ta, en considérant
la martingale
( )
óWt - ó2
Ut = exp 2 t
En arrêtant Ut à l'aide de
Ta, on introduit la martingale
( )
óWt?Ta - ó2
Xt = Ut?Ta = exp 2 (t
? Ta)
qui converge vers
~ ~
óa - ó2
exp 2 Ta
1{Ta<8}
Pour ó > 0, Xt est une martingale
bornée puisque Wt?Ta est majorée par
a. On peut donc appliquer
la relation (1.2) à la martingale
Xt et au temps d'arrêt Ta, ce qui donne
E(XTa) = E(X0) = 1.
Puisque
( )
óa - ó2
XTa = exp 2 Ta
Si l'on pose è = ó2/2, on obtient :
v
E(exp(-èTa)) = exp(-a
2è) (2.23)
On obtient ainsi la transformée de Laplace de la
variable aléatoire Ta, cette transformée de
Laplace peut être inversée, et cela montre que
Ta admet une densité sur R+ donnée
par:
/ ~
a
-a2
fa(x) = v exp ; a
> 0, t > 0 (2.24)
2ðx3 2x
La loi de Ta s'appelle une loi stable
d'indice 1/2 où distribution de Lévy.
En particulier, on en déduit que
P(Ta < 8) = 1 et E(Ta)
= 8
Des formules similaires existent avec -a au lieu de
a si a est négatif, par symétrie du mouvement
brownien. Le processus -Wt est encore un mouvement brownien, et le
temps d'atteinte de a par -Wt est égale au temps
d'atteint de -a par Wt.
Exemple 2.1 Soit Wt un mouvement
brownien standard. On note
Tx = inf{t = 0,Wt =
x}
et on considère une variable exponentielle X de
paramètre 1, alors on a
Z 8 v
2x
P(Tx < X) = 0
P(Tx < t)e-tdt
= E(e-Tx) = e-
2.10.3 Les temps de passage du mouvement brownien
Considérons maintenant a > 0 et b
> 0, et soit T =
min(Ta,T-b). La martingale Mt
=Wmin(T,t) est bornée, donc
uniformément intégrable, et on peut appliquer la relation (1.2)
au temps T. cela entraîne que :
0 = E(M0) = E(MT) = aP(T =
Ta) - bP(T = T-b)
Mais {T = Ta} =
{Ta < T-b} et {T =
T-b} = {T-b < Ta},
de telle sorte que finalement on obtient
|
b
P(Ta < T-b) =
|
P(T-b passage
=
=
=
|
a
< Ta) =
|
(2.25)
(2.26)
(2.27)
|
|
a + b et
Proposition 2.10 Les temps de
E(exp(-èT-b)1{T-b<Ta}
)
E(exp(-èTa)1{Ta<T-b}
)
E(exp(-è(Ta
?T-a)))
|
a+b
sont donnés par sinh(a 2è)
v
|
|
sinh((b + a) 2è)
v
sinh(b 2è)
v
|
|
sinh((b + a) 2è)
v
1
|
|
cosh(a 2è)
v
|
( ) ( )
Preuve Pour (2.25) on a exp óWt
- ó2 2 t et exp -óWt -
ó2 2 tsont des martingales, le processus
Xt = (áexp(óWt) +
âexp(-óWt))exp(-ó2t/2)
est une martingale. Soit T =
inf(Ta,T-b) un temps d'arrêt. Le
processus Xt?T est une martingale bornée
(puisque -b = Wt?T = a). Lorsque t
tend vers l'infini, le processus Xt?T tend
vers
(áexp(óWT) +
âexp(-óWT))exp(-ó2T/2)
oil WT vaut
WT =
a1{Ta<T-b} -
b1{T-b<Ta}
Choisissons a et p de sorte que aexp(aa) +
pexp(-aa) = 0. Par exemple en prenant, a = exp(-aa)/2 et p =
-exp(aa)/2. Le processus
Xt = sinh(a(Wt -
a))exp(-a2t/2)
est une martingale. Donc le processus arrêté
Xt?T = sinh(a(Wt?T -
a))exp(-a2(t ? T)/2)
est aussi une martingale. Par conséquent,
d'après le théorème d'arrêt (Chapitre 1 Section
1.9.2) E(XT-b) = E(X0) = sinh(-aa) ?
sinh(a(-b -
a))E(exp(-a2T-b/2)1{T-b<Ta})
= sinh(-aa) et comme la fonction sinh est une fonction impair
(sinh(-x) = -sinh(x)), donc on a
E(exp(-a2T-b/2)1{T
sinh(aa)
b<Ta}) = .
smh(a(b + a))
Si l'on pose 0 = a2/2, on obtient
E(exp(-0T-b)1{T-b<Ta})
=
sinh(av20)
sinh((b + a) v20)
On démontre la formule (2.26) de la même
manière, choisissons a et p de sorte que aexp(-ab)+
pexp(ab) = 0, en prenant a = exp(ab)/2 et p =
-exp(-ab)/2. Dons le processus
Xt = sinh(a(Wt +
b))exp(-a2t/2) est une martingale. Donc on le
processus arrêté
Xt?T = sinh(a(Wt?T +
b))exp(-a2(t ? T)/2) est aussi une
martingale. Appliquons le théorème d'arrêt
E(XTa) = E(X0) = sinh(ab) ?
sinh(a(a +
b))E(exp(-a2Ta/2)1{Ta<T-b})
= sinh(ab)
2 sinh(ab)
? E(exp(-aTa/2)1
{Ta<T b}) = sinh(a(a + b))
On a 0 = a2/2, on obtient
sinh(bv20)
E (exp(-0Ta)1{Ta<T-b})
-- sinh((b + aW20)
La troisième formule (2.27) est la somme des deux
premières (2.25) et (2.26) dans laquelle on prendra a =
b, donc on
2 sinh(av20)
E(exp(-0(Ta
?T-a))) =
sinh(2av20)
On sait que sinh(2x) = 2 sinh(x)
cosh(x) (x = av20), d'oil on trouver
1
E(exp(-0(Ta ? T-a))) =
cosh(av20)
| 
