Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

2.10 Martingales exponentielles

D'autres martingales sont liées au mouvement brownien. Les considérer permet d'obtenir d'intéressants résultats. La martingale exponentielle ou martingale de Wald, permet en particulier d'obtenir des résultats concernant les processus à accroissements indépendants ayant une dérive.

On note

( )

óWt - ó2

Mt = exp 2 t , ?t = 0

Mt est une martingale par rapport au mouvement brownien, i.e., pour s < t,

E(Mt|W_s,s < t) = Ms

2.10.1 Caractérisation de Paul Lévy du mouvement brownien

Soit {Wt,t > 0} un mouvement brownien. Les processus suivantes sont des martingales continues relativement à la filtration (Ft)t>0

Xt = Wt (2.19)

Yt =Wt ² --t (2.20)

_ft

Zt = J f (s)dW_s oùf E L² (version continue de l'intégrale stochastique) (2.21)

0

Lt 2

ó

= exp ( óWt -- 2 t ) (2.22)

Preuve Pour (2.19), si s < t alors Xt -- X_s est indépendante de F_s donc on a E(Xt --X_s|F_s) = E(Wt --W_s|F_s) = E(Wt ^--Ws) = 0

d'où

E(Wt --W_s|F_s) = E(Wt|F_s) --W_s = ⁰ Pour (2.20), de même on a

E(W²_t --W²_s |F_s) = E((Wt --W_s)² + 2W_s(Wt --W_s)|F_s)

= E((Wt --W_s)²|F_s)+2E(W_s(Wt --W_s)|F_s) = E((Wt --W_s)²|F_s)+ 2W_sE((Wt --W_s)|F_s) = E(W²t--s) = t -- s

d'où

E(W²_t --t|F_s) = W_s² -- s Vs < t

Pour (2.21), Si f est une fonction étagée,

f = ? ëi¹]ti,ti+1] i

le processus Zt

Zt = f f (s)dWs = ?_iëi(Wti+1nt ^--Wtint)

est une martingale comme somme de deux martingales arrêtées. De plus,

2

E [(f_o^t f(s)dWs ) = E (f^t f²(s)ds)

0

Si f est dans L², il existe une suite de fonctions f_n qui converge vers f . La somme

f_o f_n(s)dW_s

est une suite de martingales. En passant à la limite, on voit que Zt est une martingale. Pour (2.22), on a

E(Lt|F_s) = E (_eóWt-^ó2 ²t+óW_s-óW_s

= e-
= e-

= e-
= e-

_ó2

^{2 t}E(e^{óWt+óWs-óWs})|F_s)

_ó2

2 tE ( eóWseó(Wt-Ws) |Fs)
2 teóWsE ( eó(Wt-Ws) |Fs)

ó2 t óW _E aWt_ ) 2 es e s

et comme on Wt est un processus gaussien à accroissements indépendants et stationnaires, donc Wt-s ~ N(0,t - s) = vt - sN(0,1), d'où

E(Lt|F_s) = e- ^ó2 t eóWsE (eóvt-sN(0,1))

= e- ó2 2 teóWseó2 2 (t-s)

_ó2

= exp ( óW_s - 2 s)

D'une manière plus générale, le processus Mt est une martingale

_rt

Mt = exp f (s)dW_s - f f² (s)ds)oùf ? L2

0 2 f

En prenant pour fonction ëf on construit une infinité de martingales, le processus Mt devient

ë2 ft 2

Mt = exp (ë f f(s)dW_s - 2 0 f (s)ds) 0

En dérivant selon le paramètre ë, on obtient de nouvelles martingales. Pour f = 1, on trouve que Mt = exp ( ëWt - 22 t) est une martingale. En dérivant, on obtient une suite de martingales ?Mt/?ë|ë=0 = Wt, ?2Mt/?ë2|ë=0 = Wt ² -t, ?³Mt/?ë³|ë=0 = Wt 3 - ³tWt,...

Théorème 2.2 (Caractérisation de Paul Lévy du mouvement brownien) Soit Xt un processus aléatoire réel continu. Pour que Xt soit un mouvement brownien il faut et il suffit que Xt et X2 t -t soient des martingales pour la filtration propre de Xt.

Autrement dit, toute martingale continue est un mouvement brownien. L'hypothèse continue est essentielle. Le processus de Poisson Nt est une martingale, même que N2 t - t, mais il n'est pas continu et donc n'est pas un mouvement brownien.