2.9 Pont brownien
Un pont brownien est un objet mathématique de
la théorie des probabilités, également appelé
mouvement brownien attaché ("tied down brownian motion"
en anglais), mouvement brownien attaché en a
("brownian motion tied down at a" en anglais) ou
mouvement brownien épinglé ("pinned brownian
motion" en anglais).
Considérons un mouvement brownien
(Wt)0=t=1 sur l'intervalle de temps [0,1]. On veut calculer
la loi conditionnelle de Wt par rapport à la tribu
engendrée par la variable aléatoire W1. Notons
£(a,.) la loi conditionnelle de Wt sachant W1 =
a. Si l'on modifie la loi du processus Wt, celui-ci changer
de nom et de propriétés.
Définition 2.5 Le processus Wt
sous la loi £(a,.), est appelé le pont
brownien, et pont brownien standard si a =
0.
Définition 2.6 Un pont brownien Xt
est un processus stochastique à temps continu dont la loi celle
d'un processus de Wiener sachant l'événement W0 =
W1 = a. Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien,
c'est à dire que la loi de probabilité de tout vecteur
(Wt1,...,Wtn) conditionnellement à
W1 = a est gaussienne. Il est alors caractérisé
par sa moyenne et sa fonction de covariance, qui sont données par:
E(Wt|W1 = a) = at ?0 = t
= 1
cov(Ws,Wt|W1 =
a) = s(1-t) ?0 = s < t = 1
Observons que la moyenne dépend de a, mais pas la
covariance. Et si a = 0 on a un pont brownien standard dont
E(Wt|W1 = 0) = 0 et
cov(Ws,Wt|W1 = 0) =
s(1-t) ?0 = s < t = 1
Son semi-groupe de transition est donné par la formule
suivante, pour 0 = s < t < 1
( ~y - 1
1-s(x(1 -t) + a(t
- s)))2 )
P(a) 1
s,t (x,dy) =
q2ð(t-s)(1-t) exp dy
- 2(t-s)(1-t)
1-s 1-s
Le pont brownien peut être vu comme la définition
de la loi d'un point Xè à la date è ?
[s,t], intermédiaire sur la trajectoire d'un mouvement
brownien dont Xs et Xt sont connus, un tel point
suit une loi normale
( ~
Xs + è - s
t - s (Xt - Xs), (t
- è)(è - s)
N t - s
Proposition 2.9 Si (Wt)0=t=1
est un mouvement brownien standard, alors on a
(1). Xt = Wt -tW1 est un pont
brownien.
(2). Xt = (1 -t)Wt/1-t est
un pont brownien.
Preuve Il suffit de vérifier que le
processus est gaussien et de covariance égale à
s(1-t) ?0 = s < t = 1. Vérifions
(1), on a
E(XsXt) = E((Ws
-sW1)(Wt -tW1))
= E(WsWt)
-tE(WsW1)
-sE(WtW1)+tsE(W21 )
= min(s,t) -ts = s(1
-t)
De même pour (2), on a
E(XsXt) = E((1 -s)(1
-t)Ws/1-sWt/1-t)
( s )
= (1 - s)(1 -t)min 1 - s,
t
1 -t
= min(s(1 -t),t(1 -s)) =
s(1 -t)
2.9.1 Construction par processus contraint
Soit (Wt)t=0 un mouvement brownien standard,
a et b des réels quelconques. On définit le
processus (Xè)s=è=t, comme la
déformation de Wt, à partir de l'instant è =
s forcée de passer par a à la date è =
t. A tout instant, utilisant la nullité de l'espérance
de dWt pour tout t, on écrit donc le drift du
processus Xè comme la différence entre a et
Xè, sur le temps restant avant t. On obtient donc une
description du processus Xè comme :
a - Xè
dXè = t - è dè +
dWè, avec Xs = b et Xt =
a. (2.16)
L'équation différentielle stochastique (2.16) (voir
le chapitre correspondant) admet pour solution:
è - s
Xt,a
s,b(è) = b
+Wè-s - (Wt-s
-a+b) (2.17)
t -s
Nous pouvons simuler une trajectoire d'un pont brownien
directement à partir de l'équation (2.17). On considère la
subdivision de l'intervalle de temps [0,T] suivante 0 = t1
<
·
·
· < tN < tN+1 =
T, avec ti+1 --ti = Ät,
pour i = 1 et W(0) = W(t1) = 0, on a
l'algorithme suivant :
1. Générer une nouvelle variable aléatoire
Z de distribution gaussienne N(0,1).
2. i = i+1.
V'
3. W(ti) = W(ti--1) + Z
Ät.
4.X(ti)=b+Wti --
ti T (WT--a+b)
5. Si i N + 1, réitérez a l'étape
1.
Remarque 2.2 Si a = b = 0 on a
un pont brownien standard.
La fonction BB (Brownian Bridge) permet de simuler un pont
brownien sur l'intervalle de temps [t0,T] avec un pas
Ät = (T --t0)/N, et la fonction BBF
permet de simuler un flux de pont brownien.
R> b <- - 2; a <- 1;
R> BB(N = 1000, t0 = 0 , T = 1 , x0 = b, y = a)
R> BBF(N = 1000, M = 100, t0 = 0, T = 1, x0 = 0, y = 0)
FIGURE 2.15 - Trajectoire d'un pont brownien à partir de
Xt0 = --2 et XT = 1.
FIGURE 2.16 - Flux de 100 trajectoires d'un pont brownien
standard Xt0 = XT = 0.
2.9.2 Construction par le développement de
Karhunen-Loève (D.K.L)
Pour un pont brownien standard {Xt,0 =t = 1}
est un processus gaussien centré, à trajectoires continues (p.s),
tel que X(0) = X(1) = 0. Le développement de
Karhunen-Loève [15, 16] s'écrit pour une suite de
variables aléatoires Zn de loi normale
centrée réduite telles que E|Z2
n| = 1,
|
v
Xt = 2
|
8
?
n=1
|
sin(ðnt)
Zn
ðn
|
?t ? [0,1] (2.18)
|
Utilisant le code 5 pour simulée un pont brownien
standard a partir de D.K.L. La figure 2.17 donne une représentation
graphique d'une approximation d'un pont brownien standard par le D.K.L pour
n = 10,n = 100 et n = 1000.
FIGURE 2.17 - Approximation d'un pont brownien standard par le
D.K.L.
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