Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

2.7 Mouvement brownien arithmétiquee

Le mouvement brownien standard ou processus de wiener que nous avons étudier comporte certaines lacunes. D'abordd sa dérivee est nul, or plusieurs processus stochastiques comportent une tendance. Par exemple les indices boursiers font montre d'unee tendance àa la hausse àa long terme. De plus, la variance d'unn processus stochastique est égale au pas At, comme cette variance ne peut accepter qu'unn nombre trèss limité de processus stochastiques, ilt y a lieu de choisir la partie aléatoire d'unn processus stochastique par la variance observée de la série. Le mouvement

brownien arithmétique où mouvement brownien avec dérive (Dans la finance modèle de Merton (1973)) corrige ces deux déficiences du processus de wiener. Il s'écrit comme suit

dXt = èdt + ódWt (2.8) où è est la dérive de processus et ó son écart-type, Wt est un mouvement brownien standard. A partir de l'équation différentielle stochastique (2.8) en remarque que c'est la partie stochastique du processus qui domine à court terme et sa tendance à long terme. 1

Pour simuler une seule trajectoire du mouvement brownien arithmétique sur un intervalle de temps [t0,T] avec un pas Ät = (T -t0)/N, nous avons utilisé la fonction ABM. Et pour un flux de trajectoires utilisant la fonction ABMF.

On considère la subdivision de l'intervalle de temps [t0,T] suivante t0 < ··· < tN < tN+1 = T, avec ti+1 - ti = Ät, pour i = 0 on a W(0) = W(t0) = 0 et X(0) = X(t0) = x0, on a l'algorithme suivant :

1. Générer un nouveau variable aléatoire Z de la distribution gaussienne N(0,1).

2. i = i+1. v

3. W(ti) = W(ti-1) + Z Ät.

4. X(ti) = Xti-1 + èÄt + ó(Wti -Wti-1)

5. Si i = N + 1, réitérez a l'étape 1.

Remarque 2.1 Si è = 0 on a un mouvement brownien.

Comme en prend acte la figure 2.11, le mouvement brownien arithmétique est caractérisé par un dérive à long terme ponctué de déviations qui dépendent de l'écart-type du processus stochastique.

R> ABM(N = 1000, t0 = 0, T = 1, x0 = 0, theta = 2, sigma = 1)

R> ABMF(N = 1000, M = 100, t0 = 0, T = 1, x0 = 0, theta = 2, sigma = 1)

v

1. En effet, è est multiplié par dt et ó par dt.

FIGURE 2.11 - Trajectoire d'un mouvement brownien arithmétique avec 9 = 2 et a = 1.

FIGURE 2.12 - Flux d'un mouvement brownien arithmétique avec 9 = 2 eta = 1.

2.8 Mouvement brownien géométrique

Un mouvement brownien arithmétique est inapproprié pour décrire l'évolution du prix d'une action, étant donné la croissance espérée du prix de cette action, désignée par 9, et l'écart-type du taux de rendement de l'action, représenté par a. En effet, cela supposerait que le rendement total de l'action soit dSt

St , aurait tendance à diminuer au cours du temps, ce qui est contraire aux données observées sur les rendements des actions. On fait donc l'hypothèse que le prix d'une action obéir à un mouvement brownien géométrique où le modèle de marché de Black et Scholes, c'est-à-dire

dSt = 9Stdt + aStdWt (2.9)

La dérive et l'écart-type sont donc multipliés par St, soit le niveau du prix de l'action. Il s'ensuit le taux de rendement de l'action suit un mouvement brownien arithmétique

dSt
St

= 9dt +adWt (2.10)

Utilisant le lemme d'Itô que nous examinerons plus en détail dans le chapitre suivant, l'équation différentielle stochastique (2.9) admet pour solution

~~ ~ ~

9 - a2

St = S0 exp t + aWt , S0 > 0 (2.11)

2

( ~

Comme le mouvement brownien standard Wt est de loi N(0,t), è - ^ó2 t + óWt est de loi

2

(( ) )

è - ó2

N t,ó²tet St est de loi lognormale.

2

Pour simuler une seule trajectoire du mouvement brownien géométrique (utilisant l'équation (2.11)) sur un intervalle de temps [t0,T] avec un pas Ät = (T - t0)/N, nous avons utilisé la fonction GBM. Et pour un flux de trajectoires utilisant la fonction GBMF.

R> GBM(N = 1000, t0 = 0, T = 1, x0 = 1, theta = 2, sigma = 1)

R> GBMF(N = 1000, M = 100, t0 = 0, T = 1, x0 = 1, theta = 2, sigma = 1)

FIGURE 2.13 - Trajectoire d'un mouvement brownien géométrique avec è = 2 et ó = 1.

FIGURE 2.14 - Flux d'un mouvement brownien géométrique avec è = 2 et ó = 1.

Si l'équation différentielle stochastique du prix de l'action se conforme à un mouvement brownien géométrique, alors le prix de l'action suit une loi lognormale. Et si tel le cas le logarithme de St suit une loi normale. Pour le montrer soit l'équation (2.9) du prix de l'action, et soit la fonction g qui est égale à ln(St). Cette fonction dépend donc de la variable aléatoire St. Selon le lemme d'Itô, l'équation différentielle de la fonction g s'écrit

?g 1 ?²g

dgt = ?SdSt + ?S2 dS² (2.12)

t

2

Le lemme d'Itô s'apparente donc à une expansion de Taylor du second degré. Or,

et

1

=

S

?g
?S

1
S2

?²g

?S2 =

En substituant ces dérivées dans l'équation (2.12) et en remplaçant dSt par l'équation (2.9), on obtient

1 ó2S2 t

dgt = (èStdt + óStdWt) - (2.13)

St 2S2 t

Avec dS2 t = ó2S2 _t dt, nous le justifierons dans le chapitre suivant. Après simplification de l'équation (2.13), on obtient

( )

è - 1

dgt = ₂ó²dt +ódWt (2.14)

Le logarithme de St, soit la fonction g suit bien une loi normale puisque dWt obéit à une loi normale. On peut alors écrire le prix de l'action comme suit

[( ) ]

è - 1

St = St-1 exp ₂ó² dt + ódWt (2.15)