2.4 Approximation la dérive d'un mouvement
brownien standard par un bruit blanc gaussien
Un bruit blanc est une réalisation d'un processus
aléatoire dans lequel la densité spectrale est la même pour
toutes les fréquences, on parle souvent de bruit blanc gaussien, il
s'agit d'un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance
données.
Définition 2.4 Un processus åt
est qualifié de bruit blanc gaussien si : - E(åt) =
0 et E(å2 t ) = ó2
- åt et ås sont
indépendants ?t =6 s
- åt ~ N(0,ó2)
Par analogie avec le bruit blanc en temps discret,
défini comme une suite de variables aléatoires, centrées,
du second ordre et indépendants, on cherche à définir
{åt}t=0 comme un processus stochastique
vérifiant ?t > 0 et ?h > 0 :
- E(åt) = 0
- E(åtåt+h) =
ä0(h)
où ä0 est la mesure de Dirac en 0.
Un tel processus n'existe pas. Son idéalisation est la
dérivée d'un mouvement brownien standard. Si pour Ät
> 0 fixé, on considère le processus
åt =
Wt+Ät -Wt
Ät
Il est facile de montrer grâce aux propriétés
données par la définition de mouvement brownien
que :
( ) (|h| )
1 1 - |h|
E(åt) = 0 et
E(åtåt+h) = 1[0,1]
Ät Ät Ät
Quand Ät -?
0,E(åtåt+h) converge vers
ä0(h). Il est donc clair que la dérivée formelle
dWt
dt a
les propriétés d'un bruit blanc gaussien. Ce qui
justifie l'affirmation concernant l'idéalisation du
bruit blanc.
Donc on peut écrire formellement :
|
åt =
|
dWt
|
|
dt
|
2.5 Continuité des trajectoires
Dire qu'un processus aléatoire {Xt,t =
0} est continu c'est, par définition dire que
lim |Xt+h -Xt| = 0 h?0
Selon le type de convergence de cette variable
aléatoire, on obtient une continuité plus ou moins forte. La plus
faible des notions de continuité est liée à la convergence
en loi. Elle est évidement vérifiée. Nous allons
démontrer une continuité en probabilité pour le mouvement
brownien standard.
Proposition 2.1 Soit å > 0 et
{Wt,t = 0} un mouvement brownien standard. On a
1
lim
h?0 h
P(|Wt+h -Wt| > å) = 0
Preuve Soit h > 0, par
définition, l'accroissement Wt+h -Wt admet
pour loi N(0,h). Donc
1
2 8 1 x2
hP(|Wt+h - Wr|
> å) = h , 2ðhe- 2h dx
8 1 1
å
x
< 2
J e-
E .V22.c h3/2 2h
ie v
1
2h
-
å2 2h
e
å
h3/2
v
2
=
vð
Le dernier terme converge vers 0 lorsque h ? 0.
2.6 Régularité des trajectoires
Le mouvement brownien a de nombreuse propriétés
dont certaines peuvent être prise comme définition.
Proposition 2.2 Le processus Wt est un
processus à accroissements indépendants de fonction de
covariance
(s,t) = E(WsWt) =
ó2min(s,t)
Preuve Le mouvement brownien est un processus
centré, les accroissements étant indépendants, on a pour 0
= s < t,
E(WsWt) =
E(Ws(Wt -Ws))
+E(W2s )
= E(Ws)E(Wt -Ws)
+ var(Ws) = 0 + ó2s =
ó2s
et pour 0 = t < s on a,
E(WtWs) =
E(Wt(Ws -Wt)) +
E(W2
t )
= E(Wt)E(Ws
-Wt)+var(Wt) = 0 + ó2t =
ó2t
d'ou : E(WsWt) =
ó2min(s,t).
dx
La fonction BMcov donne une représentation graphique
(Figure 2.8) de la fonction de covariance empirique d'un mouvement brownien
standard (pour M = 500 trajectoires simulée de taille
N = 1000, C = ó2).
R> BMcov(N = 1000, M = 500, T = 1, C = 1)
FIGURE 2.8 - Fonction de covariance empirique d'un mouvement
brownien standard.
Proposition 2.3 La densité de ÄW
= (Wt1 -Wt0,...,Wtn -Wtn-1)
est donnée par
fÄW(x1,...,xn)
=
|
n
?
j=1
|
1
p2ð(tj -tj-1) exp
|
-x2 j
|
2(tj -tj-1)
|
Proposition 2.4 La densité de W
= (Wt1,...,Wtn) est
f(x1,...,xn) =
|
n
?
j=1
|
1
p2ð(tj -tj-1) exp
|
n
?
j=1
|
-(xj -xj-1)2 2(tj
-tj-1)
|
Proposition 2.5 Pour un mouvement brownien
standard (m = 0,ó = 1) et pour tout n,
l'espérance
Z +8
E(Wt+h -Wt)2n =
1
v
-8
x2ne-x2/2hdx
= 1.3...(2n - 1)hn 2ðh Presque
toutes les réalisations du mouvement brownien sont continues (appliquer
le théorème 1.1 de Kolmogorov avec c = 3,p = 4
et r = 1).
Proposition 2.6 Soit Wt un mouvement
brownien standard. On a presque sûrement,
lim
t?+8
|
sup
|
Wt vt
|
= +8 , lim
t?0
|
sup
|
Wt vt
|
= +8,
|
inf Wt vt
, lim
t?0
inf Wt vt
= -8
= -8,
lim Wt = 0.
t?+8 t
lim
t?+8
et
Preuve Comme pour tout s > 0,
U = lim
t?+8
|
sup
|
Wt
|
= lim
t?+8
|
sup
|
Wt-s-Wt
|
vt
|
vt
|
cette limite est indépendante de la tribu
ó(Wu,u = s) et donc de
ó(Wu,u = 0) et par
conséquent d'elle-même. On a soit P(U = +8) = 1 soit
P(U = a) = 1. Supposons que la limite sup soit
)atteinte en a. Pour tout b > a,
P (Wtvt > b
) tend vers 0, mais P
(Wtvt
> b= P(W1 > 0) = 1, Donc
a ne peut être qu'infini. Pour la limite
inférieure, il suffit de considérer -Wt. Pour les
limites au voisinage de zéro, on considérera le processus Xt
= tW1/t, pour établir la dernière formule,
on pose s = 1/t et on considère le mouvement brownien
Xt = tW1/t, on a Wt/t =
sW1/s = Xs ? 0 p.s. puisque Xt
est un mouvement brownien standard.
Les deux codes 3 et 4, permettes de vérifier par
simulation la proposition 2.6, le mouvement brownien standard est
simulée a partir de développement de Karhunen-Loève. La
figure 2.9 montre clairement que le mouvement brownien standard est non
différentiables, et la figure 2.10 montre que la limite de mouvement
brownien standard par rapport au temps tend vers 0 quand t?+8.
FIGURE 2.9 - Le mouvement brownien standard est non
différentiables.
FIGURE 2.10 - La limite de mouvement brownien standard par
rapport au temps.
Proposition 2.7 Soit 0 = t0 <
t1 < ··· < tn < tn+1
= t une subdivision de l'intervalle [0,t] dont le pas tend
vers 0, la variation quadratique converge dans L2 vers
t
2 L2
Vn =
Enk=0(Wtk+1 -Wtk) ---?t
Preuve Le calcul de la norme donne
||Vn
-t||2L2 = E
|
n k=0
|
(Wtk+1 -Wtk)2 -
(tk+1 -tk)
|
!2
|
= E
|
n k=0
|
((Wtk+1 -Wtk)2 -
(tk+1 -tk))2 +E
i6=j
|
E(XiXj)
|
avec
Xi = ((Wti+1
-Wti)2 - (ti+1 -ti))
Le produit des termes croisés est nul, car on a pour
i < j E(XiXj) =
E(E(XiXj)|Ftj) =
E(E(Xi)E(Xj|Ftj)) = 0 et puisque
Wti+1 -Wti est Ftj-mesurable. Il reste
donc
n
||Vn
-t||2L2 = E((Wtk+1
-Wtk)2 -(tk+1
-tk))2
k=0
Mais les accroissements (Wtk+1
--Wtk)2/(tk+1 -- tk) ont même
loi que Z2, où Z est une variable
aléatoire centrée réduite. D'où
n
||Vn
--t||2L2 = E(Z2 --
1)2 k=0 (tk+1 --tk)2
< E(Z2 -- 1)2t
sup(tk+1 --tk) -+ 0
Proposition 2.8 Si Wt est un mouvement
brownien, alors il en est de même pour les processus suivante
(1). Xt = 1aWa2t pour a
constante non nulle (invariance par changement d'échelle).
(2). Xt = tW1/t pour t >
0 et X0 = 0 (invariance par inversion de temps).
(3). Xt = WT--t --WT
avec T > 0 et t E [0,T] (invariance par
retournement du temps). Preuve Il suffit de vérifier
que le processus est gaussien et de même covariance que
Wt(t A s). Vérifions (1), on a
1
E(XsXt) = a2
E(Wa2sWa2t) = a2
min(a2s,a2t) =
min(s,t)
1
De mêmee pour (2), on a
E(XsXt) =
tsE(W1/sW1/t)) =
tsmin(1/s,1/t)) = min(s,t)
et pour (3), on a
E(XsXt) = E((WT--ss
--WT)(WT--tt --WT)))
=
E(WT--sWT--t)--E(WT--sWT))
-- E(WTWT--t)+E(W2T ))
=min( T--s, T--t)--
T+s+t
Sit > s, E(XsXt ) =
T-- t-- T+s+ t =s
Sit <s, E(XsXt ) =T
--s--T +s+t =t d'ouu :
E(XsXt) = min(s,t).
|