Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

2.3 Semi-groupe du mouvement brownien

2.3.1 Propriété de Markov

Considérons un mouvement brownien Wt sur (1,A,P), et la filtration (Ft)t=0 qu'il engendre. Puisqu'il est à accroissements indépendants, la variable Y := Wt+s -Wt est indépendante de la tribu Ft. On a pour chaque fonction f borélienne bornée sur R :

Z 1

E( f (Wt+s)|Ft) = E( f (Wt +Y)|Ft) = _v2ðse^-x2/^2s f (Wt + x)dx (2.2)

R

Cette formule montre que conditionnellement à Ft, la loi de _Wt+s ne dépend pas de tout le passé (c'est-à-dire de toutes les variables W_r pour r = t), mais seulement de la valeur "présente" Wt du processus. On dira que le mouvement brownien est un processus de Markov.

Définition 2.1 Un processus Xt est un processus de Markov si, étant donné la filtration Ft engendrée par le processus, celui-ci vérifie la propriété de Markov, à savoir que pour tous s,t = 0 et pour toute fonction f borélienne bornée sur R :

E(f(Xt+s)|Ft) = E(f(Xt+s)|Xt) (2.3)

dy (2.5)

Dans le cas du mouvement brownien, les variables W_r pour r = t, sont independantes, conditionnellement à la valeur de Wt. De plus, la loi de _Wt+s sachantt depend bien sûr de s, mais pas de t. On dit que le mouvement brownien est un processus de Markov homogène.

Définition 2.2 Soit Xt un processus de Markov homogène. On appelle semi-groupe de transition de Xt la famille (Pt)t=0 d' operateurs positifs lineaires :

Pt : Ö ? L⁸ (R^d) PtÖ ? L⁸ (R^d)

PtÖ(x) = E(Ö(Xt)|X0 = x) = f_d Ö(y)Pt(x,dy)

R

qui satisfait Pt1 = 1 et la propriete de semi-groupe :

P0 = Id , Pt+s = P_s ? Pt ?s, t = 0 (2.4)

Dans le cas du mouvement brownien, qui est un processus de markov homogène, le semigroupe (Pt)t=0 est donne par :

~ ¹Pt (x, dy) = exp _-(y - x)²

2ðt 2t

comme le montre immediatement la formule (2.2).

En utilisant les relations (2.2) et (2.5), on obtient facilement les proprietes :

E(Wt|F_s) = W_s ; E(W2 _t |F_s) = W2 s +t - s , ?s < t (2.6)

2.3.2 Mouvement brownien multidimensionnel

Le mouvement brownien multidimensionnel est très utilise dans les modèles de marche en temps continu. Par exemple, lors de la modelisation simultanee des prix de plusieurs actifs risques.

Définition 2.3 Un mouvement brownien d-dimensionnel est une collection W = (Wⁱ)1=i=d de d mouvements browniens à valeurs reelles Wi = (W_t ⁱ)t=0, qui sont indépendants entre eux.

Ce processus est encore un processus de Markov homogène (et même un processus à accroissements independants). Son semi-groupe vaut alors :

~ 1 Pt(x,dy) = (2ðt)d/2 exp -Hy 2tx ||2)

dy (2.7)

où x et y appartiennent à R^d, ||.|| designe la norme euclidienne sur R^d, et dy la mesure de Lebesgue sur R^d.

Les deux fonctions BMN2D et BMRW2D permettre de simulee un mouvement brownien 2 dimensions, respectivement par la distribution gaussienne et par approximation une marche aleatoire.

R> BMN2D(N = 10000, t0 = 0, T = 1, x0 = 0, y0 = 0, Sigma = 1) R> BMRW2D(N = 10000, t0 = 0, T = 1, x0 = 0, y0 = 0, Sigma = 1)

FIGURE 2.5 - Mouvement brownien 2--D simulée a partir d'une distribution gaussienne.

FIGURE 2.6 - Approximation d'un mouvement brownien 2--D par une marche aléatoire.

La fonction BMN3D permettre de simulée un mouvement brownien 3-dimensions.

R> BMN3D(N = 10000, t0 = 0, T = 1, X0 = 0, Y0 = 0, Z0 = 0, Sigma = 1)

FIGURE 2.7 - Mouvement brownien 3--D simulée a partir d'une distribution gaussienne.