2.2.3 Construction par le développement de
Karhunen-Loève (D.K.L)
Pour un mouvement brownien {Wt,0 = t = 1},
le développement de Karhunen-Loève [15, 16]
s'écrit pour une suite de variables aléatoires
Zn de loi normale centrée réduite telles que
E|Z2 n| = 1,
|
v
Wt = 2
|
8
?
n=1
|
sin(n + 1/2)ðt
Zn ?t ? [0,1] (2.1)
(n+1/2)ð
|
Preuve A partir du théorème de
Karhunen-Loève 1.5, on a l'équation aux valeurs
propres
Z 1
0
(s?t)ön(s)ds =
ënön(t)
s'écrit
Z t Z 1
0 sön(s)ds +
t tön(s)ds
= ënön(t)
soit en dérivant
Z 1
ënö0
n(t) = t
ön(s)ds
deux fois
ënö00
n(t) = -ön(t)
avec ö0n(1) = 0. La
résolution de cette équation conduit à
\/
ön(t) =
csin(t/ ën)
La constante c est déterminée par le fait
que les fonctions propos sont orthonormées
Z0 1 ö2 n(s)ds =
1
v 2. La condition limite
ö0n(1) = 0 donne l'équation
cos(1/vën) = 0 qui fournit les
d'où c =
valeurs propres
1
ën = (n+1/2)ð2
d'où le développement
|
v
Wt = 2
|
8
?
n=1
|
Zn
|
sin(n+ 1/2)ðt
(n+
1/2)ð
|
Le code 2 (Annexe A), permettre de simulée un mouvement
brownien standard a partir de D.K.L. La figure 2.4 donne une
représentation graphique du une approximation d'un mouvement brownien
par le D.K.L pour n = 10,n = 100 et n = 1000.
FIGURE 2.4 - Approximation d'un mouvement brownien par le
D.K.L.
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