Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

Sommaire

Sommaire 1

Liste des figures : 2

Introduction 3

I.Revue de littérature 4

A.Présentation des principaux concepts étudiés 4

B.La modélisation de la mortalité 7

II. Le modèle de Lee Carter 9

A.Le modèle 9

B.Estimation des paramètres 10

III.Modélisation de l'indice 13

A.Le mouvement Brownien 13

B.Modélisation de la dynamique de kt 14

IV.Application aux données de la Colombie 17

A.La mortalité en Colombie 17

B.Mise en oeuvre du modèle de Lee Carter 17

C.Modélisation stochastique de l'indice de mortalité (kt) 20

Conclusion 25

Annexes 26

Annexe 1 : La fonction de vraisemblance du modèle avec sauts à effets permanents 27

Annexe 2 : Estimation du modèle de Lee Carter (codes matlab) 28

Bibliographie 31

Liste des figures :

I. Introduction

Aujourd'hui, dans les pays en voie de développement, on vit plus longtemps comparativement aux années 1950. La chute du taux de mortalité dans ces pays est plus brutale que dans les anciens pays industrialisés où le développement a été plus lent. Les retombées de la médecine moderne ont permit d'enrayer des épidémies et d'accroître l'espérance de vie des populations. Par ailleurs, les événements récurrents tels que les guerres, les épidémies, les crises socio politiques, qui sévissent dans ces pays, viennent contrer cette baisse tendancielle du taux de mortalité. Etant à l'origine de divers chocs sur la mortalité, ces événements peuvent avoir des effets de court ou de long terme sur celle-ci.

Cette situation préoccupe les assureurs qui sont exposés à un risque : la mortalité effective pourrait s'écarter considérablement de la mortalité prévue par les tables prospectives. L'une des bases techniques de l'assurance vie est la table de mortalité. Elle décrit la loi de survenance des décès, laquelle permet d'évaluer le coût moyen des contrats souscrits par la compagnie. La détermination du montant de la prime pure relative à un contrat d'assurance sur la vie se fait sur base du principe d'équivalence, en vertu duquel l'espérance de la valeur actuelle des prestations de l'assureur doit être égale à l'espérance de la valeur actuelle des primes pures payées par l'assuré. Si les bases techniques utilisées par l'assureur ne reflètent pas la sinistralité réelle qu'il s'est engagé à couvrir, l'assureur sera confronté à des problèmes financiers. D'où l'intérêt pour l'assureur de réduire l'incertitude sur ses prévisions de la mortalité future.

Projeter l'évolution de la mortalité est un exercice difficile, comme en témoignent les écarts parfois très importants observés dans le passé entre les projections et la réalité en ce qui concerne les pays développés. Deux types de risques sont à prendre en compte dans la modélisation des lois en assurance de personnes : le risque de mortalité et le risque de longévité. D'un coté le risque de mortalité concerne les scénarios pessimistes sur l'évolution de la mortalité (survenance d'une pandémie). C'est le risque d'un nombre de décès plus élevé que prévu. Les guerres, les pandémies et les catastrophes naturelles sont souvent à l'origine de ce risque. De l'autre coté, le risque de longévité est le risque que les populations vivent plus longtemps que prévue. Les progrès non anticipés de la médecine et l'amélioration des conditions de vie sont à l'origine de ce type de risque.

Comment modéliser la mortalité des pays en voie de développement en prenant en compte les crises récurrentes et la survenance d'événements extrêmes ? Quiconque se lancerait dans l'élaboration de tables de mortalité prospectives pour les pays en développement serait d'abord confronté à la disponibilité de données sur de longues périodes. Du coup il s'avère difficile de modéliser la survenance d'un événement extrême et rare tel qu'une pandémie.

Les modèles de mortalité jusqu'ici élaborés ont été testés sur les données des pays développés. Peuvent-ils s'appliquer aux données des pays en développement ? La dynamique de la mortalité dans les PVD^1(*) est différente de celle PD^2(*). En effet la réduction de la mortalité y a été brutale contrairement aux PD où le développement a été lent et progressif. Les PVD ont bénéficié des transferts des progrès de la médecine émanant des PD. Par exemple, en Colombie le taux de mortalité est passé de 14 pour 1000 en 1950 à 5 pour 1000 dans les années 1980. Soit une baisse 9 points en 30 années. Depuis lors ce taux se stabilise autour de 5 pour 1000. Tout comme dans la plupart des PVD, cela pourrait s'expliquer par la croissance de la pauvreté, par de fortes incidences des maladies infectieuses, parasitaires et diarrhéiques aux âges moins élevés et par un environnement économique morose. Ces nombreux maux viennent s'opposer aux effets dues au progrès de la médecine. Dans la mesure où les sociétés des PVD et celles des PD habitent des environnements différents, et subissent des transformations sectorielles et culturelles différentes, leur expérience de la morbidité et de la mortalité peut présenter de fortes différences. Il serait donc intéressant de voire comment l'on pourrait adapter les modèles de mortalité prospectifs, déjà élaborés, aux réalités des PVD.

L'objectif de ce mémoire sera de proposer une méthode qui permette de prendre en compte tous les aspects susmentionnés (risque de survenance de crise extrême, environnement socio économique) de la mortalité dans l'élaboration de tables de mortalité prospectifs pour les PVD. Nous utiliserons comme modèle de base le célèbre modèle de Lee Carter (1992). Vu le problème d'indisponibilité de données (environnement socio économique et démographique) auquel fait face les PVD, nous modéliserons l'indice de mortalité à l'aide d'un mouvement brownien et d'un processus de diffusion de saut. Il sera supposé que les changements dans l'indice de mortalité proviennent d'un effet additif de plusieurs variables indépendantes (variables macro économique, variable démographiques).

Notre travail se subdivise en plusieurs chapitres. Le premier chapitre fait la revue des méthodes de modélisation de la mortalité. Dans le second nous exposerons de façon exhaustive notre modèle de base (le modèle de Lee Carter). Le chapitre 3 présente la modélisation de l'indice de mortalité. Et nous appliquerons dans le dernier chapitre, le modèle à un pays en voie de développement : la Colombie.

* 1 ^_ PVD : pays en voie de développement

* 2 ^_ PD : pays développés