IV. Modélisation de l'indice
Le modèle classique de Lee et Carter
présenté ci-dessus synthétise dans la série
kt toute l'information relative à l'évolution
de la mortalité dans le temps. L'objectif de ce chapitre est de
modéliser cette série temporelle pour prévoir la
mortalité future.
Nous écrirons dans toute la suite en lieu et place de
.
A. Le mouvement Brownien
Soit une variable décrivant l'évolution
temporelle d'un phénomène. Considérons la formule
Ce qui signifie que la variation de x () suit une loi
normale de moyenne et de variance. Le choix de la loi normale se justifie par
le fait que l'on suppose que la variable x est affecté
additivement par plusieurs variables aléatoires indépendantes
(théorème centrale limite).
En itérant l'on obtient une relation entre :
Et on généralise pour un intervalle de temps
T :
Cette équation est valable lorsque la variable
temporelle appartient à un ensemble discret. Mais nous pouvons
l'écrire en temps continu en choisissant un intervalle de temps
très petit. On aura alors :
L'équation différentielle stochastique
(mouvement brownien) s'écrit alors
La mortalité est un phénomène qui
résulte des effets cumulatifs de plusieurs forces qui affectent la vie
des individus. L'indice kt qui est la composante temporelle
de la mortalité dans le modèle de Lee Carter peut donc être
représenté par un mouvement brownien.
B. Modélisation de la dynamique
de kt
Nous ajusterons les k(t) à l'aide du
modèle de type (). Pour prendre en compte les éventuels sauts,
nous utiliserons une chaine de Markov discrète avec des sauts ayant des
effets transitoires ou permanents.
B.1. Processus avec
sauts à effet transitoire
Soit le nombre de chocs durant l'intervalle de temps
(0,t). Supposons qu'il y a au plus un choc (à effet
transitoire) dans chaque intervalle de temps (t-h,t), alors peut
s'écrire comme une chaine de Markov discrète avec
Soit, le nombre de choc intervenu dans la période
(t-h,t), alors suit une loi de Bernoulli de paramètre
p.
Soit, l'indice de mortalité en absence de choc.
D'après l'hypothèse faite précédemment, il peut
être représenté l'équation :
où et sont respectivement le taux d'évolution
instantané la volatilité instantané de l'indice de
mortalité en absence de choc, et est un mouvement brownien standard de
moyenne nulle et de variance t.
Si un choc intervient dans l'intervalle de temps
(t-h,h), i.e. , , on note l'ampleur du choc . On suppose que les sont
i.i.d et suivent une loi normale de moyenne et de variance , et est
indépendant du mouvement Brownien . Le choc fait que la valeur actuelle
de passe de à .
Soit
S'il n'y a pas de chocs dans l'intervalle de temps (t-h,t),
i.e., , on aura
En écrivant (4) et (5) en une seule
équation :
Par conséquent la dynamique des indices de
mortalité s'écrit comme suit :
En intégrant la première relation de t à
t+h, on obtient :
Et de la seconde équation de (7), on
déduit :
En posant, on obtient :
Si, alors est indépendant de . Si , alors est
corrolé avec du fait de la partie . Les méthodes de maximum de
vraisemblance conditionnelle permettent d'estimer les paramètres ().
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