B. Estimation des paramètres
Les variables qui figurent à droite de
l'équation ne sont pas observables. Bien entendu, le modèle ne
peut être estimé à l'aide d'une simple régression
linéaire. L'estimation des paramètres s'effectuera donc par la
méthode des moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire en
résolvant le programme suivant :
L'unicité de cette solution est assuré par les
contraintes et .
B.1. Etape 1 :
Estimation des
Les sont estimé par les moyennes des au cours du
temps. Nous avons :
B.2. Etape 2 :
Estimation des
Considérons une matrice de dimension
définie par . Nous chercherons à
approximer au sens des MCO, cette matrice par le produit d'une matrice colonne
et d'une matrice ligne :
avec et .
Il s'agira de minimiser :
La solution s'obtient en procédant à la
décomposition en valeur singulière de la matrice Z. Soit un
vecteur propre normé de Z'Z. Alors :
En multipliant les deux membres de la première
égalité par Z, on obtient
Ce qui montre qu'à tout vecteur propre Z'Z relatif
à une valeur propre correspond un vecteur propre de Z'Z relatif
à la même valeur propre. Ainsi, Z'Z et ZZ' ont les mêmes
valeurs propres. Soit le ième vecteur propre de ZZ'
associé à la valeur propre , on alors pour ,
Ou encore
Considérons la relation
et multiplions les deux membres de cette relation par avant
de sommer sur toutes les valeurs propres de Z'Z
Comme les sont orthogonaux et de norme 1,
avec la matrice unité de dimension, de sorte qu'on
aboutit à la décomposition :
C'est la décomposition aux valeurs singulières.
Elle assure que, sous des conditions assez générales, une matrice
rectangulaire peut être écrite de façon unique comme une
somme optimale de matrices de rang 1 (c'est-à-dire de produits d'une
matrice ligne par une matrice colonne). L'optimalité dont il est
question signifie que la première matrice de rang 1 constitue la
meilleure approximation de rang 1 de la matrice initiale (au sens des moindres
carrés), que la somme des deux premières constitue la meilleure
approximation de rang 2, etc.
Si la valeur propre surpasse nettement les autres, alors on
obtient l'approximation :
On mesure la qualité de l'approximation par le
pourcentage de variance expliquée défini par
On voit bien qu'il suffit de prendre
Avec . Il est claire que la contrainte est satisfaite par les
. De plus les vérifient aussi la contrainte car .
B.3. Etape 3 :
Réajustement des
Nous allons à présent réajuster les de
sorte que le nombre de décès prévu par le modèle
soit égal au nombre de décès observé. Les nouveaux
estimateurs sont solutions des équations
où est le nombre total de décès
observé à la date t, et est la population au sein du
groupe d'âge x.
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