Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

II. Revue de littérature

A. Présentation des principaux concepts étudiés

Suivant la nomenclature proposée par l'Insee, une table de mortalité se définit de la façon suivante : «Une table de mortalité annuelle suit le cheminement d'une génération fictive de 100 000 nouveau-nés à qui l'on fait subir aux divers âges les conditions de mortalité observées sur les diverses générations réelles, durant l'année étudiée.» La table de mortalité donne donc, pour la suite des anniversaires x, le nombre de survivants S_x à ces anniversaires, le nombre de décès D_x entre deux anniversaires successifs et le quotient annuel de mortalité (s'interprétant comme une probabilité de décès) Q_x à l'âge x. Ces tables sont alors très utiles notamment pour les assureurs, qui les utilisent pour déterminer leurs primes d'assurance.

Lorsqu'on construit une table de mortalité, on cherche à obtenir des résultats sur les probabilités de survie des individus. Une formalisation mathématique est donc nécessaire, et la partie qui suit se propose de présenter les principaux outils mathématiques qui sont utilisés.

A.1. Outils principaux des modèles de durée

A.1.a) Probabilités de survie et de décès

Considérons à une époque 0 origine des temps, un individu d'âge x. Désignons par Tx sa durée de vie résiduelle à partir de cet instant. Ainsi, cet individu décèdera à l'âge de x + Tx. La durée de vie résiduelle T_x constitue une variable aléatoire. Nous caractérisons la loi de probabilité de T_x par la fonction de survie p_x^t = P[T_x > t] où t est un réel positif. Inversement, on désigne par q^{t/ t'}_x la probabilité de décès entre t et t + t' d'un individu pris en observation à l'âge x et q_x^t la probabilité de décès avant la date t d'un individu pris en observation à l'âge x. Notons que q_x^t = 1 - p_x^t.

La probabilité de décès s'exprime alors en fonction de la probabilité de survie :

q^t/t'_x = P[t < Tx < t + t'] = P[t < Tx] - P[t + t' < Tx]

A.1.b) Loi de survie

Considérons à l'intérieur d'un groupe homogène, à un instant pris comme origine, l'ensemble des individus d'âge x en nombre L_x. Nous allons supposer qu'ils décèdent indépendamment les uns des autres. Dans ce cas, on peut attacher à chaque élément du groupe une variable aléatoire X_i(t) que nous appellerons indicateur de survie et qui prend la valeur 1 si l'individu est vivant et la valeur 0 s'il est mort à la date t. Les variables X_i(t) sont alors en nombre égal à L_x et on suppose de plus que les décès sont indépendants. Donc :

E(Xi(t)) = 1 * p_x^t + 0* q_x^t = p_x^t

V (Xi(t)) = E(Xi(t)²) - [E(Xi(t))]² = p_x^t - (p_x^t)² = p_x^t * q_x^t

A l'époque t le nombre de survivants du groupe initialement composé de L_x individus est :

L_x+t =

D'où, E(L_x+t) = L_x * p_x^t

Et, comme les variables Xi(t) sont indépendantes, on a :

V (L_x+t) = L_x * p_x^t * q_x^t

On appelle nombre probable de vivants^3(*) à l'âge x + t et on le désigne par l_x+t la quantité :

E(L_x+t) = L_x * p_x^t

Et on obtient notamment en faisant tendre t vers 0 l'égalité :

L_x = E(L_x) = L_x

Remarquons qu'on obtient ainsi l'égalité p_x^t = l_x+t / l_x On peut alors à partir d'une constante de proportionnalité L_x = lx calculer le nombre probable de vivants pour toutes les périodes : l'ensemble des valeurs obtenues constitue alors une loi de survie.

* 3 ^_ Si la population est suffisamment grande, alors le nombre probable de vivants à l'âge x + t est une bonne estimation du nombre de survivants du groupe initial à l'âge x + t