A.1.c) Le taux instantané de mortalité
Etant donné un individu pris en observation à
l'âge x et supposé vivant à l'époque t
(c'est-à dire à l'âge x + t), la
probabilité qu'il décède entre les dates t et
t + ?t est :
P(t < Tx < t + ?t
/ Tx>t) = P(t < Tx < t +
?t) / P(Tx > t) =
(pxt - pxt+?t) /
pxt
En supposant la fonction pxt
dérivable par rapport à t, on obtient alors,
pxt -
pxt+?t=-(pxt)' /
?t
Or, pxt = lx+t / lx
donc ( pxt )' =
lx+t' / lx et pxt -
pxt+?t = - lx+t' /
(?t / lx)
D'où /?t = -
lx+t' / lx+t
Cette limite est une fonction ux+t que
l'on appelle le taux instantané de mortalité à
l'âge x + t. Pour un âge y, on a donc
:
uy = -ly' / ly
=
Inversement, si l'on connaît la fonction
uy, on aura par intégration entre x et
x + t :
pxt =
A.1.d) L'espérance de vie
On désigne par espérance de vie à
l'âge x l'espérance mathématique de la durée de vie
résiduelle Tx. En notant ù la durée de vie
maximale, on a ainsi :
= = -
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