Déviation du taux de change par rapport aux fondamentaux

3.1.3. Exposant de Hurst et classification des séries temporelles en fonction de

leur structure de dépendance

Analyse R/S et exposant de Hurst

Le calcul de la statistique R/S²⁸ donne lieu à un coefficient appelé exposant de

Hurst, noté H et défini par :

²⁸ Hurst a introduit la statistique R/S en 1951 lors de son étude sur les débits du Nil. Cette statistique, largement développée par la suite par Mandelbrot, a été définie dans le but de détecter la structure de dépendance de long terme d'une série temporelle. La statistique R/S (Rescaled Range) se définit comme l'étendue des sommes

partielles des écarts d'une série temporelle à sa moyenne divisée par son écart type.

H = ^{log Q}

^{log n}

(2.42)

où Q est la statistique R/S et n le nombre d'observations.

Il est alors possible de déterminer la structure de dépendance de la série en fonction des valeurs de H.

· Si H =

¹ : le mouvement brownien fractionnaire se réduit au mouvement

2

brownien ordinaire. Le processus ne présente donc aucune dépendance à long terme. Les autocorrélations décroisent à un taux géométrique vers zéro.

· Si

¹ < H <1 : On est en présence d'un processus à mémoire longue. Le

2

processus présente « l'effet Joseph ²⁹ » de dépendance à long terme, dépendance d'autant plus forte que H se rapproche de 1. Dans ce cas, la corrélation est positive et il y a persistance : si la série a été à la hausse la période précédente, alors il y a de fortes chances pour qu'elle soit également à

la hausse la période suivante.

· Si 0< H < ¹ : la corrélation est négative. Le processus présente ce que

²

Mandelbrot a nommé l'antipersistance. Ce phénomène s'interprète comme suit :

des phases de hausse ont tendance à être suivies par des phases de baisses.

Relation entre exposant de Hurst et paramètre d'intégration fractionnaire

On peut montrer (Hosking, 1981 ; Geweke et Porter-Hudak, 1983 ; Lo, 1991) qu'il existe une relation remarquable entre le paramètre d des processus ARFIMA

et l'exposant de Hurst H : d = H - ¹ .

2

Dés lors, il est possible d'effectuer une classification des séries temporelles en fonction des valeurs du paramètre d :

²⁹ Le terme « d'effet Joseph », retenu par Mandelbrot et Wallis (1968), renvoie à un passage de la bible où

Joseph interprète un rêve de Pharaon : il avait vu sept vaches maigres suivre sept vaches grasses et Joseph en conclut qu'il s'agissait d'une succession prévue de sept années de sécheresse à sept année de bonnes récoltes.

· Si 0 < d <

¹ : Le processus ARFIMA est un processus stationnaire à

2

mémoire longue. Les autocorrélations sont positives et diminuent hyperboliquement vers 0 lorsque le retard augmente. La densité spectrale

est concentrée autour des faibles fréquences (cycles lents), elle tend vers l'infini lorsque la fréquence tend vers zéro. On fait face à un processus

persistant ( ¹ < H <1).

²

· Si d = 0, le processus ARFIMA se réduit au processus ARMA standard.

· Si -

¹ < d < 0 : Le processus est antipersistant. Les autocorrélations sont

2

négatives et la densité spectrale est dominée par des composantes de haute fréquence (la densité spectrale tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers zéro).