Déviation du taux de change par rapport aux fondamentaux

Section 3 : Quelle explication pour l'ajustement du taux de change :

mémoire longue

Les résultats des tests usuels de cointégration peuvent provenir du fait que le processus d'ajustement du taux de change réel vers sa valeur fondamental exhibe un phénomène de persistance. En d'autres termes, le processus d'ajustement est un processus à mémoire longue. Nous nous proposons ici d'étudier cette possibilité.

3.1. Mémoire longue et processus ARFIMA

3.1.1. Définition de la mémoire longue

L'hypothèse d'indépendance des séries temporelles est dans la plupart des cas uniquement une approximation de la véritable structure de corrélation des séries. D'importantes corrélations pour de faites retards peuvent parfois être détectés et des processus à mémoire courte, comme par exemple les processus ARMA, peuvent suffire à modéliser la structure de dépendance des séries.

Toutefois, il existe de nombreux exemples de donnés où les corrélations prises seules sont faibles, mais dont la somme est extrêmement élevée. Le périodogramme de

ces séries indique un pic dans le spectre à la fréquence zéro. A l'origine, trois explications possibles d'un tel pic sur le périodogramme (ou de manière équivalente des corrélations décroissants lentement) existent : la non stationnarité, les phénomènes transitoires et la stationnarité avec une dépendance à long terme.

La première explication a été avancé par nombre d'auteurs et en premier lieu

par Klemes (1974), Potter (1976,1979) et Bhattacharya, Gupta et Waymire (1983). Les phénomènes transitoires ont souvent été évoqués pour expliquer l'effet Hurst. Les processus stationnaires avec dépendance à long terme ont été analysés en premier par Kolmogorov (1940) dans un travail théorique.

Selon Hosking (1984), la mémoire longue peut être définie de différentes manières. En effet, le phénomène de la mémoire longue est caractérisé par :

· Une fonction de corrélation décroissant hyperboliquement au fur et à mesure

que le retard s'accroît, c'est-à-dire ñk ~ k^-x, alors que celle des processus à mémoire courte décroît exponentiellement (ñk ~ å^k, 0 < å < 1) ,

· Une densité spectrale s'accroissent sans limite quand la fréquence tends vers zéro, ou

· L'étendue normalisée, se comportant comme la fonction T^H, H > ½ et T étant la

taille de l'échantillon, plutôt que comme la fonction T^1/2, caractéristique des processus à mémoire courte.

Cette dernière caractéristique de la mémoire longue est appelée « phénomène

de Hurst ».

Mandelbrot et Wallis (1968, 1969a, b, c), Mandelbrot et Van Ness (1968),

Mandelbrot et Taqqu (1979) ont été les premiers à introduire de tels processus en statistique.

Les processus stationnaires les plus simples avec une dépendance de long terme sont les incréments des processus appelés processus « auto-similaires²⁶ » avec pour paramètre d'autosimilarité H [1, 1/2]. Leur structure de corrélation est complètement déterminée par H. Les processus auto-similaires gaussiens sont appelés « mouvements browniens fractionnaires » et leur dérivée « bruit gaussien fractionnaire²⁷ ».

Le mouvement brownien est un processus stochastique en temps continu B (t) avec des incréments gaussiens. Sa dérivée est le bruit gaussien en temps continu qui a une densité spectrale constante. Mandelbrot et Van Ness (1968) ont montré que la mémoire longue est compatible avec la stationnarité en construisant le mouvement brownien fractionnaire, BH (t), un processus stochastique stationnaire en temps continu avec une fonction de corrélation décroissant hyperboliquement, correspondant à une généralisation du mouvement brownien. Les propriétés de base du mouvement brownien fractionnaire sont :

· Le mouvement brownien fractionnaire de paramètre H, habituellement 0<H<1,

est le dérivée fractionnaire (1/2 - H) ième du mouvement brownien, la dérivée étant définie au sens de Weyl ou de Riemenn-Liouville ;

· La densité spectrale du mouvement brownien fractionnaire est proportionnelle à

w ^{-2H - 1} ; où w correspond à la fréquence ;

· La fonction de covariance du mouvement brownien fractionnaire est proportionnelle à k ^2H-2 où k est le retard.

Le processus bruit fractionnaire en temps continu est ainsi défini comme B'H

(t), la dérivée du mouvement brownien fractionnaire. Il peut également être vu comme

la dérivée fractionnaire (1/2 - H) ième du bruit blanc en temps continu, auquel il se réduit pour H = 1/2.

²⁶ La loi liée aux autocorrélations fortes est largement reliée au concept de processus autosimilaire, introduit par

Kolmogorov (1940).

²⁷ Le mouvement brownien fractionnaire (Sowell, 1990) est un processus stochastique continu gaussien

1+ 2 d

^{stationnaire, de moyenne nulle, de fonction de covariance E W}d

^{(t ) - W}d

(s ) ² =

t - s défini pour d

(-1/2 ; 1/2). Quand d = 0 , il se réduit au mouvement brownien ordinaire.

On recherche un analogue en temps discret du processus bruit fractionnaire en

temps continu. Hosking (1981) indique qu'une possibilité est le bruit fractionnaire en temps discret proposé par Mandelbrot et Wallis (1969), lequel est défini comme un processus dont la fonction d'autocorrélation est la même que celle du processus à incréments unitaires ?BH (t) = BH (t) - BH (t-1) du mouvement brownien fractionnaire. Mandelbrot et Wallis (1969) ont montré que ce bruit gaussien fractionnaire exhibe effectivement le « phénomène de Hurst ».

Les méthodes d'identification de la mémoire longue dans une série temporelle sont diverses. La procédure la plus ancienne fait référence au calcul de l'exposant de Hurst (1951) lors de son étude sur les flux du Nil. Elle a été par la suite largement développée par Mandelbrot, puis améliorée par Lo (1991) . Les propriétés théoriques

de cette statistique ont été étudiées par Mandelbrot et Wallis (1968, 1969)

et Mandelbrot (1972).

Un second type d'outils permettant de détecter la présence d'une mémoire longue dans une série temporelle est constitué des tests de rapport de variances développés par Cochrane (1988) et Lo et Mac Kinlay (1988, 1989). Le test du rapport des variances exploite le fait que la variance des incréments d'une série suivant une marche aléatoire est linéaire dans l'intervalle échantillonnal, c'est-à-dire que la variance des différences q^ièmes de la série est égale à q fois la variance des différences premières de la série. Cependant, la difficulté de l'utilisation de ces tests réside dans le

le choix nécessaire a priori d'un paramètre de troncature du nombre de retards de la fonction d'autocorrélation. Afin de contourner ce problème, on peut utiliser un test basé sur les autocorrélations spatiales : le test BDS élaboré par Brock, Dechert

et Scheinkmen (1987). Ce test ne vise cependant pas initialement à une mesure de la mémoire des séries, mais teste l'hypothèse nulle de série indépendamment

et identiquement distribuée (absence de mémoire) contre une alternative non spécifiée (présence d'une mémoire). Il présente néanmoins l'intérêt de déceler tout type de dépendance, entre les séries linéaire ou non linéaire, à la différence des tests classiques

de marche aléatoire. En ce sens il semble suppléer aux insuffisances des tests précédents. Ces différentes procédures d'estimation ont été appliquées par Lardic

et Mignon (1995) sur diverses séries de taux de change et d'indices boursiers. Nous

nous intéressons ici à une approche alternative d'identification et de modélisation de la

mémoire longue, à savoir les modèles ARFIMA (Autorégressif, fractionnairement intégré, moyenne mobile).