2.1.2. Test de Dickey-Fuller augmenté (ADF)
Dans les modèles
précédentes, utilisés pour les tests de Dickey-Fuller
simples,
le processus å t est, par hypothèse, un bruit
blanc. Or il n'y a aucune raison pour que, a priori, l'erreur
soit non corrélée ; on appelle test de Dickey-Fuller
augmentés (ADF,
1981) la prise en compte de cette hypothèse.
Tout comme dans le cas du test de
Dickey-Fuller simple, trois modèles sont
distingués où å t est un processus AR (p-
1):
Modèle (1'') :
p
? Xt = Ö Xt-1 + j
X t - j + å t
(2.16)
j =1
Modèle (2'') :
p
? Xt = Ö Xt-1 + u + j
X t - j + å t
(2.17)
j =1
Modèle (3'') :
p
? Xt = Ö Xt-1 + ë + ät +
j X t - j + å
t (2.18)
j =1
La mise en oeuvre du test ADF est similaire
à celle du test de DF simple : on
adopte la même stratégie séquentielle
descendante partant de l'estimation du modèle
(3 ''). Les statistiques de test sont les mêmes que
dans le cas du test DF simple. Il convient cependant de remarquer que
l'application du test ADF nécessite au préalable
de choisir le nombre de retards p à introduire de
sorte à blanchir les résidus. Le problème du choix
de p est important dans la mesure où :
* L'inclusion d'un nombre insuffisant de retards peut
affecter le niveau du test ; et
* L'introduction d'un nombre trop élevé de retards
réduit le nombre de degrés
de liberté et la puissance du test, ce qui conduit trop
souvent, de manière erronée, au non rejet de l'hypothèse
nulle.
Le problème du choix du nombre de
retard sera résolu à travers les critères
d'informations.
Critères d'informations
Il est nécessaire de spécifier les
ordres de retard (p) dans les tests DF et ADF en
se basant sur des critères statistiques tels que le
critère d'information d'Akaike (Aic)
et le critère de Schwartz (Sc).
Le critère d'Akaike :
Selon le critère d'Akaike, la valeur
de (p) sera celle qui minimise la fonction d'Akaike ci-après
:
Aic (p) = ln (
n
t =1
2
(et / n) + (2 p / n)
(2.19)
Avec :
n
2
et
est la somme des carrés des résidus de
l'équation et n est le nombre
t =1
d'observations.
Le critère de Schwartz :
Selon Schwartz, la valeur de (p) sera celle qui
minimise la fonction suivante :
Sc (k) = ln (
n
t =1
2
(et / n) + p(ln(n) /
n)
(2.20)
2.2. Test de Phillips-Perron (PP)
Phillips et Perron (1988) proposent une
correction non paramétrique au test de Dickey-Fuller simple afin
de régler le problème de l'autoccorélation
et/ou de l'hétéroscédasticité des erreurs. Ils
proposent ainsi un test très général avec des
hypothèses minimales sur la séquence d'innovation (å t).
L'idée sous-jacente aux tests ADF est
qu'en remplaçant les modèles du cadre
DF par des modèles du type :
p
? Xt = dt + Ö Xt-1 + j
X t - j
j =1
+ å t (2.21)
On peut toujours choisir p assez grand
pour conserver l'hypothèse de bruit
blanc sur åt. Ceci entraîne que les lois limites des
estimateurs caractérisant la nature stochastique de la série sont
identiques à celle du cadre DF.
La mise en oeuvre du test de
Phillips-Perron est identique à celle du test de Dickey-Fuller :
on adopte la même stratégie séquentielle descendante
partant de l'estimation du modèle avec constante et tendance. Il
convient cependant au préalable
de choisir le paramètre de troncature l, tout comme il
convient de choisir le nombre de
retards p dans le cas du test ADF. On retient en
général l = T1/4.
Au-delà des tests qui ont
tenté d'apporter des solutions aux diffécultés
soulevées par l'application des tests de Dickey-Fuller simples
(apparition quasi- systématique d'une autocorrélation des
résidus et la formulation adéquate de la composante
déterministe). D'autres stratégies de tests ont été
développées, comme par exemple la procédure de
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin.
| 
