Déviation du taux de change par rapport aux fondamentaux

Section 2 : Vérification de l'hypothèse de convergence à long terme entre le taux de change et les fondamentaux

Afin de tester l'hypothèse de convergence à long terme entre le taux de change

et les fondamentaux, noux allons étudier les propriétés statistiques des différentes au moyen des tests de racine unitaires à savoir le test de Dickey-Fuller, test Dickey-Fuller augmenté, test Phillips-Perron et le test Kwiotowski, Phillips, Schmidt, Shin. Ensuite, nous allons tester la relation de convergence à long terme entre le taux de change et les fondamentaux à travers deux méthodes à savoir la méthode en deux étapes de Engle

et Granger et la méthode de Johansen.

2.1. Les tests des racines unitaires

Dans la littérature, la non stationnarité d'un processus stochastique est souvent définie à travers la variabilité temporelle de ses moments d'ordre 2. Afin de donner une définition « plus concrète » à la notion de la non stationnarité, Newbold et Granger

ont proposé deux types de processus distinguant la nature de la non stationnarité.

Le premier type, appelé Trend Stationary (TS) est donné par :

Xt = á0 + á1 t + åt (2.8)

Le processus TS est non stationnaire en moyenne, il vérifie le phénomène retour à la moyenne décrit ci-dessus : E (Xt) = á0 + á1 t

Le deuxième type, appelé Difference Stationary (DS) :

Xt = á0 + á1 t + Xt-1 + åt (2.9)

Le processus DS est non stationnaire aussi bien en moyenne qu'en variance :

E (Xt) = X0 + á1 t ; V (Xt) = t ²

et Cov( Xt, Xs) = min(t, s) ²

avec s t

Il apparaît évident que les structures DS et TS jouent un rôle important dans le

traitement statistique d'une série. Comment choisir entre l'une ou l'autre des structures ? Les tests de recherche de racine unitaire dans les processus générateurs tentent de répondre à cette question. Nous présentons tout d'abord le test de Dickey- Fuller simple (1979), puis le test de Dickey-Fuller augmenté (1981), le test de Phillips- Perron (1988) et enfin le test test Phillips-Perron et le test Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin qui mettent en évidence le caractère stationnaire ou non d'une série.

2.1.1. Test de Dickey-Fuller DF

Dickey -Fuller (1979) considèrent trois modèles de base pour la série Xt,

t = 1,..., T.

Les trois modèles de base

- Modèle (1) : modèle AR (1) sans constante ni tendance déterministe :

(1 - ñ L) Xt = å t (2.10)

- Modèle (2) : modèle AR (1) avec constante sans tendance déterministe :

(1 - ñ L) (Xt - á) = å t (2.11)

- Modèle (3) : modèle AR (1) avec constante et tendance déterministe :

(1 - ñ L) (Xt - á - â t) = å t (2.12)

ó²å).

^{Dans chacun des trois modèles, on suppose que å} t ^{suit un bruit blanc BB (0,}

Si ñ =1, cela signifie qu'une des racines du polynôme retard est égale à 1. On

dit alors qu'on est en présence d'une racine unitaire. En d'autres termes, Xt est un

processus non stationnaire et la non stationnarité est de nature stochastique (processus

DS).

Hypothèses

On teste l'hypothèse nulle de racine unitaire (Xt est intégrée d'ordre 1, c'est-à- dire non stationnaire) contre l'hypothèse alternative d'absence de racine unitaire (Xt

est intégrée d'ordre 0, c'est-à-dire stationnaire). Ecrivons plus précisément les

hypothèses nulle et alternative pour chacun des trois modèles considérés :

Modèle (1) :

H0 : ñ = 1 ? Xt = Xt-1 + å t

H1 : | ñ | < 1 ? Xt = ñ Xt-1 + å t

Ainsi, sous l'hypothèse nulle, il s'agit d'un modèle DS de marche aléatoire sans

dérive. Sous l'hypothèse alternative, Xt suit un processus AR (1).

Modèle (2) :

H0 : ñ = 1 ? Xt = Xt-1 + å t

H1 : | ñ | < 1 ? Xt = ñ Xt-1 + ã + å t avec ã = á (1 - ñ)

L'hypothèse nulle correspond à un modèle DS de marche aléatoire sans dérive. Sous l'hypothèse alternative, Xt suit un processus AR (1) avec dérive.

Modèle (3) :

H0 : ñ = 1 ? Xt = Xt-1 + â + å t

H1 : | ñ | < 1 ? Xt = ñ Xt-1 + ë + ät + å t

Avec ë = á (1 - ñ) + ñâ et ä = â (1 - ñ)

Sous l'hypothèse nulle, il s'agit d'un modèle DS de marche aléatoire avec

dérive. Sous l'hypothèse alternative, Xt est un processus TS avec erreurs ARMA.

Stratégie séquentielle de test

En pratique, on estime les modèles sous la forme suivante :

Modèle (1') :

? Xt = Ö Xt-1 + å t (2.13)

Modèle (2') :

? Xt = Ö Xt-1 + ã + å t (2.14)

Modèle (3') :

? Xt = Ö Xt-1 + ë + ät + å t (2.15)

å

^{Avec, pour chaque modèle, Ö = (1 - ñ) et å} t ^{suit BB (0, ó2 ). On ne teste alors}

l'hypothèse nulle Ö = 0 (non stationnarité) contre l'hypothèse alternative Ö < 0 (stationnarité) en se référant aux valeurs tabulées par Fuller (1976) et Dickey -Fuller (1979, 1981). Dans la mesure où les valeurs critiques sont négatives, la règle de décision est la suivante :

- Si la valeur calculée de la t-statistique associé à Ö est inférieur à la valeur critique,

on rejette l'hypothèse nulle de non stationnarité.

- Si la valeur calculée de la t-statistique associé Ö est supérieur à la valeur critique, on accepte l'hypothèse nulle de non stationnarité.

Il est fondamental de noter que l'on n'effectue pas de test sur les trois modèles.

Il convient en effet d'appliquer le test de Dickey-Fuller sur un seul des trois modèles.

En pratique, on adopte une stratégie séquentielle en trois grandes étapes.

- Etape 1 :

On estime le modèle (3). On commence par tester la significativité de la tendance en se référant aux tables de Dickey-Fuller (voir tableau 2.1). Deux cas peuvent se présenter :

- si la tendance n'est pas significative, on passe à l'étape 2.

- si la tendance est significative, on teste l'hypothèse nulle de racine unitaire en

comparant la t-statistique de Ö aux valeurs tabulées par Dickey-Fuller. On a alors deux possibilités :

* si l'on accepte l'hypothèse nulle, Xt est non stationnaire. Dans ce cas, il faut

la différencier et commencer la procédure de test sur la série en différence première.

* si l'on rejette nulle, Xt est stationnaire. Dans ce cas, la procédure de test s'arrête et l'on peut directement travailler sur Xt.

Tableau2.1 Valeurs critiques de la constante et de la tendance, tests de Dickey- Fuller

T	Modèle 2	Modèle 3
	Constante	Constante	Trend
	1% 5% 10%	1% 5% 10%	1% 5% 10%
100	3.22 2.54 2.17	3.78 3.11 2.73	3.53 2.79 2.38
250	3.19 2.53 2.16	3.74 3.09 2.73	3.49 2.79 2.38
500	3.18 2.52 2.16	3.72 3.08 2.72	3.48 2.78 2.38
	3.18 2.52 2.16	3.71 3.08 2.72	3.46 2.78 2.38

- Etape 2 :

Cette étape ne doit être que si la tendance dans le modèle précédent n'est pas significative. On estime le modèle (2') et l'on commence par tester la significativité.

On estime le modèle (2') et l'on commence par tester la significativité de la constante

en se référant aux tables de Dickey-Fuller :

· si la constante n'est pas significativité, on passe à l'étape 3.

· si la constante est significative, on teste l'hypothèse nulle de racine unitaire en comparant la t-statistique de Ö aux valeurs tabulées par Dickey-Fuller. On a alors deux possibilités :

* si l'on accepte l'hypothèse nulle, Xt est non stationnaire. Dans

ce cas, il faut la différencier et recommencer la procédure de test sur la série en différence première.

- Etape 3 :

* si l'on rejette l'hypothèse nulle, Xt est stationnaire. Dans ce cas,

la procédure de test s'arrête et l'on peut directement travailler sur

Xt.

Cette étape ne doit être appliquée que si la constante dans le modèle précédent n'est pas significative. On estime le modèle (1') et on teste l'hypothèse nulle de racine unitaire :

* si l'on accepte l'hypothèse nulle, Xt est non stationnaire. Dans ce cas,

il faut la différencier et recommencer la procédure de test sur la série en différence première.

* si l'on rejette l'hypothése nulle, Xt est stationnaire. Dans ce cas, la procédure de test s'arrête et l'on peut directement travailler sur Xt.

Les tests simples de Dickey-Fuller souffrent de deux limites importantes, à

savoir :

· D'une part, l'apparition quasi-systématique d'une autocorrélation

des résidus ; et

· D'autre part, l'importance d'une formulation « adéquate » de la composante déterministe, faute de quoi les résultats du test pourraient être systématiquement biaisés.

Deux types de corrections ont été proposés afin de prendre en compte du problème d'autoccorélation des erreurs : une correction paramétrique (le test de Dickey-Fuller augmenté) et une correction non paramétrique ou semi-paramétriques (test de Phillips-Perron).

Présentons successivement ces deux stratégies de tests.