6.4 Approche multivariée de la
cointégration : l'analyse de Johansen
La méthodologie de Johansen (1991) est fondée
sur un modèle véctoriel autorégressif (VAR). Elle permet a
la fois d'estimer et de tester les relations d'equilibres des séries non
stationnaires.
Considérons un modèle VAR d'ordre p de la forme
suivante :
Yt = A0 + A1Yt~1 + :::::::: + ApYt~p + Et (1)
avec:
Yt : vecteur de dimension (k x 1)
A0 : vecteur de dimension (k x 1)
A : matrice de dimension (k x k) qui contient les
paramètres du vecteur autorégressif VAR(p).
dans ce modèle, chaque composante I't est exprimée
par ces p valeurs retardées. On peut réécrire le
modèle (1) en différence premiere sous la forme suivante :
vYt= A0 + p--1P F vYt_ + irYt~1 + Et (2)
=1
avec: F = -(A +1 + .....+ Ap)
~ = -I + A1 + :::: + Ap
Si on a K variables endogènes, toutes ayant une racine
unitaire (c'est a dire stationnaires en différences), on peut avoir (K -
1) relations de cointégration linéaires indépendantes.
les différentes étapes de test de Johansen sont
:
Première étape
Cette étape consiste à calculer les
résidus t et Ut en effectuant les régressions
suivantes : vYt = b0+ b~1vYt~1+ b~2vYt~2+ ....
:: + b~pvYt~p + t
Yt-1= bO0 + bO1vYt~1+ bO2vYt~2+
.......+ bOpvYt~p + Ut
On a les mêmes variables explicatives, seule la
spécification du bloc de la variable à expliquer est
modifiée.
bçb et bO sont des matrices d'ordre
(n, n), t et Ut sont les matrices des résidus de dimension
(k, n) avec k est le nombre de variables, et n le nombre d'observations.
Deuxième étape
Dans cette étape on calcul la matrice permettant le calcul
des valeurs propres.
A partir des résidus 'it et Ut, on calcule les
quatre matrices des variances-covariances de dimension (k, k) suivantes.
P d ~~ = 1n Xn /t/'t Pd z,z, = 1n
Xn UtU' t
i=1 i=1
P d iv = 1n Xn /tU't P d vp = n 1
Xn Ut/' t
i=1 i=1
Troisième étape
On extraie les k valeurs propres de la matrice M, de dimension
(k, k), calculée de la manière suivante:
[P1 P
M = ~~ P d [P1
~~ d ~~
Quatrième étape
A partir des valeurs propres de la matrice ir, on calcule la
statistique À
Àtrace = -n Xk Ln(1 - Ài)
i=r+1
où r est le rang de la matrice ir, k est le nombre de
variables et Ài est la jieme plus grande valeur propre de la
matrice ir.
Cette statistique suit une loi de probabilité (similaire
à un x2) tabulée à l'aide de simulations par
Johansen et Juselius (1990).
Ce test procède comme suit :
r = 0 : la matrice ir est nulle, le modèle (2) est un
modèle vectoriel autorégressif sur les variables prises en
différence première.
r = k : les variables sont intégrées d'ordre
zéro et le modèle VAR est stationnaire. 0 < r < k : il
existe une représentation de ir de la forme ir = a'/5)
où la matrice /3 de
taille (k, r) dite matrice de cointégration contient r
colonnes appelées vecteur de
cointègration.
Cinquième étape
Après avoir déterminer le rang de
cointégration au pas 4, ir peut être écrite sous la
forme
~ = ~a
avec:
a : est une (k x r) matrice dont les colonnes sont les vecteurs
propres calculés à l'étape
précédente et qui représentent les
estimateurs, par le maximum de vraisemblance, des
vecteurs cointégrants.
/3: est une (k x r) matrice des facteurs de pondération
(ainsi appelés) qui contient des poids associés à chaque
vecteur cointégrant.
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