3.4 Calcul des composantes de la vitesse
Le champ de * étant déterminé, les
composantes u et v de la vitesse sont déduites de la relation
hermitienne (3.5), laquelle nous permet d'écrire les schémas
suivants :
}r
>?~'
?~~@ ')* }r
~ * 7 =
ï~à
)*
a*
Calcul de = V
ax
_?' 7 ... _?' 7 _?' ~ F
?~` ?~` ?~` ï~ H')}r~*
3 ')qr~*
J
)}r* )~* )qr~*
Calcul de alp =
--u
ay
(aa 1P)n7 +
4 (191P)n7 + (19
a1P)n = 3 * 4+1 Vi 4-1)
y i,]+1+i ay . Li . y ti-1
A
y 3.5 Résolution de
l'équation de transport du tourbillonnUn schéma directionnel
d'ordre 2 a été choisi pour résoudre l'équation de
transport du utourbillon..C'est un schéma semi-implicite du type
directions alternées. Ce choix est motivé par la
arecherche d'une simplicité dans l'affichage des conditions
aux limites, des critères de stabilité emoins
restrictifs et d'un gain en temps de calcul. Ce schéma sera
précis d'ordre 2 en espace, et tprécis d'ordre 1 en
temps..Sous forme conservative l'équation de transport du
tourbillon est donnée par ::
|
aw a (ay ,
4(0)
\
at ax7+
|
°Cat
6))
|
=
|
1>?~% (3.13)
?~~ 7 ?~%
?~~ @
~~ j
|
|
ay
|
aw
at : Terme
''évolution
|
a_?' ?~ %` /
7+
ax
|
a Cat
6))
|
: Terme de convection
|
|
ay
|
1 (026)
02(o)
Re aX2
: terme de diffusion
7
+ ay2
On note :
|
S. =
|
a
ox ' 8 Y =
|
0 02 02
~ (- ~ ~ ~ (à ~ ~ ?~~
?~ ?~~
|
Le calcul de la fonction tourbillon se fait en deux
etapes ou demi -pas. Si on designe par cn+1/2 la valeur du tourbillon calculee
au premier demi- pas, et par con' la valeur de w au deuxième
demi- pas (valeur de to au (n 7 1)At ), le schema A.D.I s'ecrit de la
manière suivante :
1er demi-pas :
COn+1/2 3 con
3 (- >%}r»~ _?' Z(-
~H%}r»~J 7 (à ~~%~[
?~` @ 7 (à >% _?' @ ~ =
?~`~~ ~~
;
2ème demi-pas :
1
con+1 3 COn+ 2
(- >%}r ~ _?' @ 7 (à >%}r
_?' @ ~ = >(- ~ _%}r ~%}r@
?~` ~` 7 (à
?~`~~ ~~
;
Au premier demi- pas, les valeurs inconnues
COn+1/2 n'apparaissent
que sous les operateurs
8x et 4 .
Or ces operateurs ne font intervenir que les points
immediatement voisins et situes sur la même horizontale (seul x
varie).
On pourra donc resoudre sur chaque ligne horizontaley =
cte.
De même au deuxième demi -pas les valeurs
inconnues co' n'apparaissent que sous les operateurs
Sy etSy2, on pourra donc resoudre sur chaque
ligne verticale x=cte. La precision d'ordre 2 en espace est obtenue de deux
manières differentes suivant la façon de discretiser les termes
de convection.
Schema directionnel d'ordre 2 differences centrees
pour les termes de convection Soient f et g deux fonctions
S. (resp Sy) le pas de discretisation en
s(resp en y)
fmn (respgm,n) la valeur de f(resp
g) au noeud (m,n)
Alors l'operateur de convection discretise approchant
a ù (resp ù ù· ) prendra la forme
suivante.
|
6x (fg) =
|
fi+Li
· gi+Li 3 fi-Li.
gi-Li
|
|
2.6a
|
|
6y(fg) =
|
~)}r~*I gi+i,j 3
~)qr~*I 4)qr~*
|
|
2Ay
|
Schema directionnel d'ordre 2 utilisant des differences
decentrees dans le sens de la vitesse pour les termes de convection
Cette technique de discretisation des termes de
convection permet d'assurer la preponderance de la diagonale principale des
matrices resultantes. Ce genre de schema conduit à un temps de calcul
moins important que le schema centre, et ces conditions de stabilite sont moins
restrictives. Par consequent, il a ete choisi pour la resolution numerique de
l'equation de transport du tourbillon.
On definit :
~)* ~ ZP%o Pà[)* pi; = 1 si uji < o et 0
ailleurs
~)* ~ ZP%o P-[)*
aii = 1 si vij > 0 et 0 ailleurs
Les operateurs de convection discretises approchant
a ù et ù ù· prendront la forme
suivante : 1er demi -pas :
}r»~[ }r»~3)*%)* }r»~[
(- >%}r ~ _?' §)* Z)*%)*
}r»~3~)qr~*%)qr~* H= 3 §)*J Z~)}r*%)}r*
?~` @ ~ 7 Ax Ax
(à >% _?' H= 3
#172;)*JH~)*%)*
3~)~*qr%)~*qr
J J
#172;)*H~)~*}r%)~*}r
3)*%)*
?~` @ ~ 7 Ay Ay
2ème demi - pas :
(-
(à
>%}r ~
|
>%}r
|
_?'
|
@
@
|
~
~
|
|
?~`
_?'
|
|
?~`
|
}r»~[ }r»~[
}r»~3)*%)*
H= 3 §)*J Z~)*%)r*
}r»~3~)qr~*%)qr~*
§)* Z~)}r~*%)}r~*
7 Ax Ax
}r J }r3)*%)* }rJ
#172;)*H)*%)* }r3~)~*qr%)~*qr H= 3
#172;)*JH~)~*}r%)*}r
7
~~ ~~
| 
