Chapitre 4:Résolution des équations de
Navier-stokes
par la Méthode spectrale
4.1 Introduction
Les méthodes spectrales sont un outil
très puissant dans le cadre de la résolution numérique des
équations aux dérivées partielles. Elles consistent
à utiliser des changements d'espaces sur la fonction
étudiée. Nous présentons une méthode spectrale
colocationTchebychev pour la résolution numérique des
équations de Navier-stokes pour le cas de l'écoulement
instationnaire d'un fluide visqueux (de viscosité cinématique
v et densité p) dans une cavité
à paroi supérieure entrainée. L'écoulement est
supposé bidimensionnel. La vitesse sur la paroi supérieure est
bien définie u=1 et v=0. La difficulté majeure quand on approche
numériquement les problèmes avec les méthodes spectrales
est liée à la complexité du domaine de calcul qui varie au
cours du temps. Une autre difficulté qui se pose lors de la
résolution d'une équation non linéaire est liée
à un problème technique dû au phénomène
d'aliasing. Les méthodes spectrales, dans leur formulation d'origine
sont mal adaptées pour ce genre de situations
Les méthodes spectrales font partie des
méthodes à résidus pondérés dans lesquelles
les approximations sont définies en terme d'une série
(développement en série) de telle manière qu'une certaine
quantité appelée erreur ou résidu qui doit être nul
est forcé d'être nul de manière approximative ceci est
obtenu en utilisant le produit scalaire définit par:
#177;
(f,g)0 = f f 4 o dx
²
Ou f(x) et g(x) sont deux fonctions définies sur
l'intervalle [a, f3] et w(x)
est une fonction poids donnée.
4.2 Méthodes spectrales pour l'approximation
d'une fonction
L'approximation d'une fonction donnée f(x) est
représentée sous forme d'un développement en série
tronquée de la manière suivante :
N
fN(xP t) = 1 f~k(t)
(Pk(x)
k=0
Avec
f~k(t): Coefficients spectraux qui sont des
inconnues à déterminer (pk( x) : Les fonctions de base qui sont
données
Le choix de la fonction poids et de la fonction de base
dépend de la nature du problème, en effet, si la solution n'est
pas périodique à tout ordre et si le domaine est borné
(par exemple
-1<,x <1), dans
ce cas on utilise le polynôme de Tchebychev . 4.3
Généralité sur la méthode
collocation-Tchebychev
4.3.1 Les propriétés principales des
polynômes de Tchebychev
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Les polynômes de Tchebychev (de première
espèce) Tk(x), sont tels que :
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Tk(x) = cos kx
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(4.1)
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Les Tk sont des polynômes de degrés k
liés par triplets par récurrence :
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To(x) = 1
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(4.2)
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Ti(x) = x
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(4.3)
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Tk+1 = 2xTk(x) -- Tk-1(x)P pour k
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1
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(4.4)
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Ces polynômes de Tchebychev sont orthogonaux sur
l'intervalle [-1; 1] avec la fonction poids qui est donné
par:
co(x) = 1 (4.5)
il -- x2
la propriété d'orthogonalité est
:
0 si k * m
11 Tk(x)Tm(x) dx = TC si k = m =
0
(4.6)
J-1 V1 - x2 TC
2 si k = m * 0
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