4.3.2 Quadrature de Gauss-Lobatto
En décomposition Tchebychev, la quadrature de
Gauss-Lobatto, exacte pour des polynômes de degré 2N - 1 ou moins,
impose que les points de collocation soient les zéros de (1 -
x2)TN '(x).Ces points ont pour abscisses
:
iTC
xi = - cos (N) pour i E [0, N]
(4.7)
Et les poids de cette quadrature sont alors :
TC
CO0 = CON = 2N (4.8)
COi =
TC
N pour i E [1, N - 1] (4.9)
4.3.3 Représentation d'une fonction sur les
polynômes de Tchebychev
Sur (N + 1) points de collocation repartis sur
l'intervalle [-1; 1], le polynôme d'interpolation fN(x) d'une fonction
f(x) est :
N
fN(x) = f~~(t) Tk(x)
(4.10)
k=0
fN(x) : Fonction donné
f~k(t) : Les coefficients spectraux sont
fixés,
En particulier, les opérations de
dérivation, intégration et interpolation numériques, se
ramène à des manipulations des polynômes de Tchebychev
Tk(x), dont les propriétés et particularités sont bien
connues.
Connaissant les valeurs prises par f(x) aux points de
collocation xi, yi = f(xi), on voit que la relation ci-dessus peut s''ecrire
sous la forme d'un produit matrice vecteur : P C = Y, où C est le
vecteur des coefficients spectraux f~~(t)et P est la matrice de
passage dont les éléments sont P(i, j) = Tj(xi).
En d'autres termes, connaissant les valeurs nodales yi,
on a accès aux coefficients spectraux ~~~~~~ (par multiplication du
vecteur y par l'inverse de P) et réciproquement.
On qualifié la matrice P de matrice de passage
de l'espace spectral à l'espace physique (puisque son application sur
les coefficients spectraux permet d'obtenir les valeurs nodales). Son inverse,
P-1, permettant l'opération inverse (l'obtention des
coefficients spectraux à partir des valeurs nodales) est
qualifiée de matrice de passage de l'espace physique à l'espace
spectral.
4.3.4 Matrice de passage pour les points de collocation de
Gauss-Lobatto
Les éléments de la matrice de passage P et
de son inverse P-1 sont tels que :
Pii = Tj(xi) (4.11)
~)* qr ~co
·
Ti(x
·) (4.12)
(Ti, TON
Ou les xi sont les points de collocation, les wi sont les
poids et (Ti, Ti)N le produit scalaire discret de la quadrature
considérée.
4.3.5 Dérivation numérique via le
développement sur les polynômes de Tchebychev
Si on note par u le vecteur dont les composantes sont les
valeurs de uN aux points de collocation et par U(p) le vecteur des
valeurs de la dérivée Pième de u, on a
:
N N
|
141(xi) = uk
|
r
£~ É~~)~ ~ ~»~
|
Tk(Xi) (4.13)
|
k=0 k=0
Avec
N
p=k+1
(p+k)pair
~»~ r ~ ;
ck P up
(4.14)
ck donné par :
t2 si k = 0
ck =
1 si k > 1
| 
