Résolution des équations de Navier Stokes bidimensionnelle par méthode des différences finies et méthode spectrale

3.3 Résolution de l'équation de poisson de la fonction de courant

Pour résoudre l'équation de Poisson de la fonction de courant, on utilise une méthode

d'ordre 0(h⁴) combinée avec un schéma aux directions alternées implicites (ADI). Par
conséquent, il a été nécessaire de transformer l'équation elliptique de la fonction de courant

1p

en une équation parabolique en temps fictif T, en ajoutant le terme ^a au second membre de

aT

l'équation de Poisson (éq.2.27)

0^2* Ox2 7	0^2*	= co 7	011J	(3.7)
	0y^2		OT

La solution stationnaire de cette équation parabolique représente la solution de l'équation de la fonction de courant. Chaque pas de temps fictif AT est résolu en deux étapes ou demipas. Dans le premier demi- pas, l'intégration se fait suivant une direction, et dans le second demi -pas dans l'autre direction.

En considérant T = kAT et en désignant par par IIJ^k+1/²et IIJ^k+1 les valeurs de IIJ à chaque demi- pas fictif, on aura à résoudre les équations suivantes :

~}r» ~' ?~~ @	~ 7	~ ~' 7 >? ?~~ @	~ ~	%)* %)*	7 7	=
>?)* ~}r»~ ~' ?~~@		)* }r ~' ?~~ @				ï~- =
>?)*		>?)*				ï~à

~[ (3.8)

Z')*

~}r»~ 3 ')*

Z')* }r 3 ')* ~}r»~[ (3.9)

Premier demi- pas :intégrationn suivant ^xOn suppose que les valeurs de ZP%o ~

Pà[)* dans l'équation (3.8) sont connues, et on pose : ⁱ

k

) ~ %)* 3 >?~' 3 =

?~~ @ ')* ~

ï~-

)*

On aura alors :

~}r»~

>?~' ~}r»~

~ ™i 7 =

?~~ @ (3.10)

ï~- ')*

)*

A partir de cette relation on peut déduire les valeurs de ZP%o ~}r»~ ~}r»~

et ZP%o

P-[)qr_~* P-[)}r_~*

En portant dans la relation hermitienne (3.6), on obtient une équation linaire qui permet de

_k+1

2

.

déterminer les valeurs nodales iij

12 1 \ .c+1(2 24 1 \ 12 1 \++1/2 ..rik+11(2 k(0x)^2 Aix)^1 k(AX)^2 Aix) k(Ax)^23 Aix) = Si-i 7 113Si 7 Si+1

(3.11)

Les conditions aux limites étant de type Dirichlet, on a à résoudre un système tridiagonal pour

_k+1 _k+1

déterminer les valeurs iij ² sur chaque ligne j = cte.une fois qu'on connaît ^lt^rij ² on déduit

_k+i

la valeur de (^a211') ² à partir de la relation (3.10). ax²ij

Deuxième demi- pas : intégration suivant y

_k1

² et moe

2

k+ⁱ L'intégration suivant x nous a permis de connaître *_if

A partir de l'équation (3.9), on peut déduire la relation :

}r

>?~' }r

~ * 7 =

?~~@ ')* (3.12)

ï~à )*

Avec

~}r»~ 3 =

* ~ %)*3 >?~'

?~~ @ ')* ~}r»~

ï~à

)*

De la même manière que précédemment, en utilisant la relation hermitienne correspondant à la dérivée suivant y, on obtient la relation :

> =; @ ')*

~ï~~~ 3 = }r 7 > =;

@ ')~*qr

}r 3 > ;...

~ï~~~ 3 = ~ï~~~ 3 = @ ')*}r

}r ~ *qr 7 =G* 7 *}r

ï~à ï~à ï~à

Pour i= cte, et on a un système tridiagonal à résoudre pour déterminer *7¹ }r

La dérivée second Zùú

ù·[oe est calculée à partir de la relation (3.12).