1.2.2.2. Les tests de racine unitaire et la
stratégie séquentielle de test :
Les tests de racine unitaire « Unit Root Test »
permettent non seulement de détecter l'existence d'une
non-stationnarité mais aussi de déterminer de quelle
non-stationnarité il s'agit (processus TS ou DS) et donc la bonne
méthode pour stationnariser la série.
1.2.2.2.1. Tests de racines unitaires : tests de
Dickey-Fuller (1979)
Les tests de Dickey-Fuller (DF) permettent de mettre en
évidence le caractère stationnaire ou non d'une chronique par la
détermination d'une tendance déterministe ou stochastique.
Les modèles servant de base à la construction de
ces tests sont au nombre de trois. Le principe
des tests est simple : si l'hypothèse H0 : 1 = 1 est
retenue dans l'un de ces trois modèles, le processus est alors non
stationnaire.
[1] xt = 1 xt-1 + t Modèle
autorégressif d'ordre 1.
[2] xt = 1 xt-1 + + t Modèle
autorégressif avec constante.
[3] xt = 1 xt-1 + bt +
c + t Modèle autorégressif avec tendance.
Si l'hypothèse H0 est vérifiée, la chronique
xt n'est pas stationnaire quel que soit le modèle retenu.
Dans le dernier modèle [3], si on accepte H1 : 1 < 1 et
si le coefficient b est
significativement différent de 0, alors le processus
est un processus TS ; on peut le rendre stationnaire en calculant les
résidus par rapport à la tendance estimée par les moindres
carrés ordinaires.
Sous H0, les règles habituelles de l'inférence
statistique ne peuvent pas être appliquées pour
tester cette
hypothèse, en particulier la distribution de Student du paramètre
1 ; Dickey et
Fuller ont donc étudié la distribution
asymptotique de l'estimateur 1, sous l'hypothèse H0. À
l'aide
de simulations de Monte-Carlo, ils ont tabulé les valeurs critiques pour
des échantillons
de tailles différentes. Ces tables sont des
tables28 analogues aux tables du t de Student. Les
auteurs ont choisi de tester la valeur ( ^ - 1) au lieu de ^
pour des raisons purement
statistiques. Cela n'est pas gênant pour le test. En effet,
s'écrit aussi :
Il est donc équivalent de tester comme hypothèse H0
: 1= 1 ou 1 - 1 = 0. Les principes généraux du test
sont les suivants.
^
On estime par les moindres carrés ordinaires le
paramètre 1, noté 1 pour les modèles [1],
[2] et [3].
L'estimation des coefficients et des écarts types du modèle par
les moindres carrés
ordinaires fournit ~ qui est analogue à la
statistique de Student (rapport du coefficient sur
son écart type). Si ~ > bu alors on accepte
l'hypothèse H0 ; il existe une racine unité, le processus n'est
donc pas stationnaire.
Remarque : les principaux logiciels
d'analyse de séries temporelles calculent automatiquement les valeurs
critiques ~ .
1.2.2.2.2. Les tests de Dickey et Fuller Augmentés
:
Dans les modèles précédents,
utilisés pour les tests de Dickey-Fuller simples, le processus
t est, par hypothèse, un bruit blanc. Or il n'y a aucune raison
pour que, a priori, l'erreur soit non corrélée ; on appelle tests
de Dickey-Fuller Augmentés (ADF, 1981) la prise en compte de cette
hypothèse.
Les tests ADF sont fondés, sous l'hypothèse
alternative I 1< 1, sur l'estimation par les MCO
des trois modèles :
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Modèle [4] :
Modèle [5] :
Modèle [6]
:
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28 table 7 au niveau des annexes
avec t i.i.d
Le test se déroule de manière similaire aux
tests DF simples, seules les tables statistiques diffèrent. La valeur de
p peut être déterminée selon les critères
d'Akaike ou de Schwarz, ou encore, en partant d'une valeur suffisamment
importante de p, on estime un modèle à p - 1
retards, puis à p - 2 retards, jusqu'à ce que le
coefficient du pième retard soit significatif.
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