122 La non stationnarité et les tests de racine
unitaire
1221 La non stationnarité : les processus TS et
DS
Les chroniques économiques sont rarement des
réalisations de processus aléatoires stationnaires. Pour analyser
la non-stationnarité, deux types de processus sont distingués
:
- les processus TS (Trend Stationary) qui représentent
une non stationnarité de type déterministe26
- les processus DS (Differeney Stationary) pour les processus
non stationnaires aléatoires. 12211 Les processus TS
Un processus TS s'écrit : xt =f t+ Et
où f t est une fonction polynômiale du temps,
linéaire ou non linéaire, et Et un processus stationnaire. Le
processus TS le plus simple (et le plus répandu) est
représenté par une fonction polynômiale de degré 1.
Le processus TS porte alors le nom de linéaire et s'écrit :
xt = a0 + a1t+ Et
25 Ljung G. M. et Box G E. P., 1978
26 Par définition, un processus est
aléatoire d'ou l'ambigüité du terme de processus
déterministe.
Ce processus TS est non stationnaire car E[xt]
dépend du temps. Connaissant ^0 et ^1, le processus xt peut
être stationnarisé en retranchant, de la valeur de xt en
t, la valeur estimée ^0 et ^1t. Dans ce type de
modélisation, l'effet produit par un choc (ou par plusieurs chocs
aléatoires) à un instant t est transitoire. Le
modèle étant déterministe, la chronique retrouve son
mouvement de long terme qui est ici la droite de tendance. Il est possible de
généraliser cet exemple à des fonctions polynômiales
de degré quelconque.
1.2.2.1.2. Les processus DS :
Les processus DS sont des processus que l'on peut rendre
stationnaires par l'utilisation d'un filtre aux différences : (1 -
D)d xt = /3 + Et où Et, est un processus
stationnaire, /3 une constante réelle, D l'opérateur
décalage et d l'ordre du filtre aux différences.
Ces processus sont souvent représentés en utilisant
le filtre aux différences premières (d = 1). Le
processus est dit alors processus du premier ordre. Il s'écrit :
(1 - D) xt = /3 + Et 4= xt-1 + /3 +
Et
L'introduction de la constante /3 dans le processus DS permet de
définir deux processus différents :
= 0 : le processus DS est dit sans dérive. Il
s'écrit : xt = xt-1 + Et
Comme Et est un bruit blanc, ce processus DS porte le nom de
modèle de marche au hasard ou de marche aléatoire (Randon'
Walk Model). Il est très fréquemment utilisé pour
analyser l'efficience des marchés financiers.
Pour stationnariser la marche aléatoire, il suffit
d'appliquer au processus le filtre aux différences
· : le processus porte alors le nom de processus DS avec
dérive.
La stationnarisation de ce processus est réalisée
en utilisant le filtre aux différences premières :
Dans les processus de type DS, un choc à un instant
donné se répercute à l'infini sur les valeurs futures de
la série ; l'effet du choc est donc permanent et va en
décroissant.
En résumé, pour stationnariser un processus TS,
la bonne méthode est celle des moindres carrés ordinaires ; pour
un processus DS, il faut employer le filtre aux différences. Le choix
d'un processus DS ou TS comme structure de la chronique n'est donc pas
neutre.
1.2.2.1.3. Conséquences d'une mauvaise
stationnarisation du processus :
Pour un processus TS, la bonne méthode de
stationnarisation est celle des moindres carrés ordinaires. Supposons
que l'on applique au processus TS du premier ordre un filtre aux
différences premières. A priori, comme le degré du
polynôme est 1, ce filtre peut être considéré comme
correct puisqu'un filtre aux différences d'ordre d
élimine un polynôme de même degré. Cependant, on
démontre que l'application du filtre aux différences a
créé une perturbation artificielle.
Pour un processus DS, la bonne méthode de
stationnarisation est le filtre aux différences premières.
Supposons que l'on applique la méthode des moindres carrés
ordinaires (régression sur le temps) sur les observations d'un
échantillon du processus, les paramètres de la tendance sont
estimés et par conséquent le résidu de la
régression doit être un bruit blanc. Nelson et Kang montrent
à partir de simulations, que l'élimination d'une tendance
linéaire sur un processus de marche aléatoire crée
artificiellement une forte autocorrélation des résidus pour les
premiers retards.
Sur le plan économétrique, il est donc
primordial d'identifier clairement le processus sousjacent et d'employer la
méthode adéquate de stationnarisation. Sinon le risque de
créer des « bruits parasites » artificiels est très
élevé.
Les conséquences sont également importantes sur
le plan économique. Considérons, par exemple, le P113 d'un pays
comme la France en valeur réelle27. Si ce P113 est DS
plutôt que TS, il est alors nécessaire de remettre en cause la
décomposition traditionnelle (tendance et cycle) et sa justification
théorique l'indépendance des schémas explicatifs. Si le
P113 est en effet DS, la croissance et le cycle sont liés et ne peuvent
être en conséquence étudiés de façon
séparés. Or, d'après les travaux de Nelson et Plosser
(1982) sur des chroniques macro-économiques américaines, la
variabilité constatée de la composante conjoncturelle serait due
à une structure DS. Comme jusqu'à présent, l'analyse de
cette composante s'effectue à partir du résidu d'une
27 Cf. Ertur K. « les études comparatives
» ,1992.
régression entre le PIB et une tendance
déterministe, cette analyse surestime l'amplitude du cycle et
sous-estime l'importance de la tendance. Sur ce constat, Beveridge S. et Nelson
C.B. (1981) proposent une décomposition des processus selon une tendance
stochastique (permanente) qui obéit à une marche aléatoire
avec ou sans dérive et une composante stationnaire (transitoire). Par la
suite Harvey A.C. (1988) utilise les modèles structurels à
composantes inobservables (modèle tendance plus cycle et tendance-cycle)
représentées sous forme d'un modèle espace d'états
estimé par le filtre de Kalman.
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