Prévision prospective du taux de change IATA (Association Internationale du Transport Aérien)

1.2.1.3. Test de « bruit blanc » et de stationnarité :

Nous ne pouvons identifier clairement les caractéristiques stochastiques d'une série chronologique que si elle est stationnaire. Cette étude de stationnarité s'effectue essentiellement à partir de l'étude des fonctions d'autocorrélation (ou de leur représentation graphique appelée « corrélogramme »). Une série chronologique est stationnaire si elle ne

comporte ni tendance ni saisonnalité. Nous allons donc, à partir de l'étude du corrélogramme d'une série, essayer de montrer de quelle manière nous pouvons mettre en évidence ces deux composantes.

Nous pouvons distinguer différents types de séries stationnaires :

- à mémoire, c'est-à-dire dont on peut modéliser, par une loi de reproduction, le

processus

- identiquement et indépendamment distribuée notée i.i.d. ou appelée Bruit Blanc («

White Noise »);

- normalement (selon une loi normale) et indépendamment distribuée notée n.i.d, ou appelée Bruit Blanc gaussien.

1.2.1.3.1. Analyse des fonctions d'autocorrélation

Lorsque nous étudions la fonction d'autocorrélation d'une série chronologique, la question qui se pose est de savoir quels sont les termes pk qui sont significativement différents de 0.

En effet, par exemple, si aucun terme n'est significativement différent de 0, on peut en conclure que le processus étudié est sans mémoire et donc qu'à ce titre il n'est affecté ni de tendance ni de saisonnalité. Ou encore si une série mensuelle présente une valeur élevée pour p12 (corrélation entre yt, et _yt-12,), la série étudiée est certainement affectée d'un mouvement saisonnier²².

Le test d'hypothèses pour un terme pk est le suivant :

H0 : pk = 0
H1 : pk 0

Nous pouvons utiliser le test d'hypothèses d'un coefficient de corrélation, fondé sur la comparaison d'un t de Student empirique et théorique. Toutefois. Quenouille²³ a démontré que pour un échantillon de taille importante (n > 30), le coefficient pk tend de manière asymptotique vers une loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1/v

L'intervalle de confiance du coefficient pk est alors donné par :

n = nombre d'observations.

²² Il s'agit même d'un test de détection de saisonnalité.

²³ Quenouille M. H., 1949

Si le coefficient calculé P^k est à l'extérieur de cet intervalle de confiance, il est significativement différent de 0 au seuil a (en général a = 0,05 et t 2 = 1,96). La plupart des logiciels fournissent, avec le corrélogramme, l'intervalle de confiance, ce qui autorise une interprétation instantanée.

Nous devons souligner une limite des tests à 5 %. En effet, lorsqu'une fonction d'autocorrélation est calculée pour un nombre important de retards, nous pouvons nous attendre à ce que quelques-uns soient, de manière fortuite, significativement différents de 0. Si h est le nombre de retards, le nombre possible de faux rejets est alors de 0,05 x h, pour un seuil de confiance de 5 %.

Dans le cas où le corrélogramme ne laisse apparaître aucune décroissance de ses termes (absence de «cut off »), nous pouvons en conclure que la série n'est pas stationnaire en tendance.

1.2.1.3.2. Statistiques de Box-Pierce et Ljung-Box :

Le test de Box Pierce permet d'identifier les processus de bruit blanc (suite de variables aléatoires de même distribution et indépendantes entre elles). Nous devons donc identifier cov (yk, yt-k) = 0 ou encore pk = 0 Vk.

Un processus de bruit blanc implique que p1 = p2 =... = ph = 0, soit les hypothèses: H0 : P1 = P2 =... = Ph = 0

HI : il existe au moins un pi significativement différent de 0.

Pour effectuer ce test, on recourt à la statistique Q (due à Box-Pierce²⁴) qui est donnée par :

h = nombre de retards, P^k = autocorrélation empirique d'ordre k, n = nombre d'observations.

La statistique Q est distribuée de manière asymptotique comme un x² (chi deux) à h degrés de liberté. Nous rejetons donc l'hypothèse de bruit blanc, au seuil a, si la statistique Q est supérieure au x² lu dans la table au seuil (1- a) et h degrés de liberté.

²⁴ Box G E. P. et Pierce D. A., 1970

Nous pouvons utiliser aussi une autre statistique, dont les propriétés asymptotiques sont meilleures, dérivée de la première qui est le Q' de Ljung et Box²⁵ :

qui est aussi distribuée selon un x2 ah degrés de liberté et dont les règles de décisions sont identiques au précédent. Ces tests sont appelés par les anglosaxons : « portmanteau test » soit littéralement test «fourre-tout ».

12133 Test de normalité :

Pour calculer des intervalles de confiance prévisionnels et aussi pour effectuer les tests de Student sur les paramètres, il convient de vérifier la normalité des erreurs. Le test de Jarque et Bera (1984), fondé sur la notion de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (aplatissement), permet de vérifier la normalité d'une distribution statistique.

Ces tests de normalité servent également dans le cas où il y a hétéroscédacité. En effet, l'hétéroscédacité se manifeste sur le graphe de la distribution par des queues de probabilité plus épaisses (distribution leptokurtique) que les queues de la loi normale.