Une introduction aux systèmes de lois de conservation

2.4 Solution locale du problème de Riemann.

Définition 2.8. (i) Si le couple (ëk (u) , dk(u)) est vraiment non-linéaire, prendre : Tk (u0) = R+ k (u0) U {u0} U S _k (u0).

(ii) Si le couple (ëk (u) , dk(u)) est linéairement dé_généré,

prendre : Tk (u0) = Rk (u0) = Sk (u0).

On voit _que les états initiaux très voisins u et u⁺ pourraient être joints par une kLonde de raréfaction, une onde de choc ou une discontinuité de contact à condition _que

(2.24) u E Tk (u⁺).

Question : Peut-on chercher des solutions du problème de Riemann avec la seule condition que u⁺ reste très proche de u ?

Tout en espérant _qu'on puisse joindre u⁺ à u par une suite d'onde de raréfaction, d'onde de choc et/ou les discontinuités de contact le lon_g des chemins Tk.

Théorème 2.4. (Solution locale du problème de Riemann) On suppose pour cha_que 1 = k = n _que le couple (ëk (u) , dk(u)) soit linéairement dégénéré ou bien vraiment non-linéaire. On suppose en outre donné l'état initial de _gauche u .

Alors, pour tout état de droite u⁺ suffisament proche de u , il existe une solution faible u du problème de Riemann, _qui est constante le lon_g du chemin passant par l'ori_gine.

Preuve. 1L On va appli_quer le théorème des fonctions implicites sur la carte Ö :

n ? n définie dans un voisina_ge de 0 comme suit. Premièrement, pour toute famille de courbes Tk (1 = k = n), choisir le paramètre non sin_gulier ôk mesurant la lon_gueur de l'arc_; plus précisément, si w, w E ⁿ avec w E Tk (w), alors ôk (w) ? ôk (w) = (si_gne) distance de w à w le lon_g de la courbe Tk (w). Nous prendrons le si_gne"+" pour ôk (w) si w E R+ k (w) et le si_gne "L" si w E S _k (w) .

2L Prenant alors t = (t1, ..., t_n) E ⁿ avec |t| petit, on définit Ö (t) = w comme suit : écrire (2.24) comme suit :

u = w0,

choisissons les états w1, .., w_n tel _que :

? ???? ????

w1ET1(w0), r1(w1)-r1(w0)=t1 w2ET2(w1), r2(w2)-r2(w1)=t2 ... wn E T n (wn_1), rn (wn) - rn (wn_1) = tn

u+ = w_n

et définir '1 (t) = w.

'1 est C¹ et '1 (0) = u0.

3- On exi_ge _que :

(2.25) D'1 (0) soit non sin_gulière.

Pour voir cela, observons _que '1 (0, .., tk, ..0) - '1 (0, ..., 0) = tkdk (u0) + 0 (tk). Ainsi

?'1 (0) = dk (u0) (1 k n) et D'1 (0) = (d1 (u0) , ..., dn (u0))n×n
?tk

Cette matrice est non sin_gulière car la famille {dk _(u0)}1=k=n est une base.

4- Au vu de (2.25), le théorème des fonctions inverses, appli_qué, pour tout état u+ suffisamment proche de u_, il existe un uni_que paramètre t = (t1, ..., t_n) proche de 0 tel _que '1 (t) = u⁺ . Se rappeler _que, si wk_1 et wk sont joints par une k-onde de raréfaction, cette onde est :

? ?? ??

wk_1 si x < tÀk (wk_1) c où Àk (y ((c))) = x tsi x t E ]Àk (wk_1) , Àk (wk)[ wk si x > tÀk (wk)

où encore, si wk_1 et wk sont joints par un k-choc, il aurait la forme :

?

?

?

wk_1 si x

t

wksi a(wk, wk_1) < t

< a (wk, wk_1)

x

où Àk (wk) < a (wk, wk_1) < Àk (wk_1).

Dans les deux cas, les ondes sont constantes à l'extérieur des ré_gions Àk (w0) - < x < Àk (w0) + pour > 0 très petit, à condition _que wk, _{wk_1} soient très près de w0. Or

t

À1 (w0) < ... < À_n (w0), on voit alors _que les ondes de raréfaction, les ondes de choc et/ou les discontinuités de contact joi_gnant u _ = w0 à w1; w1 à w2; ...;wn_1 à w_n = u⁺ sont disjointes Exemple 2.1.

Soit le s_ystème de lois de conservation :

(2.26)

? ????? ?????

· u1 [u1]t + = 0 1 + u1 + u2 x · u 2 [u2]t + = 0 1 + u1 + u2 x

u1 > 0,u2 >0

Ecrivant (2.26) sous la forme _quasilinéaire, la (2 x 2) matrice A (u) est donnée par :

	1 + u2		-u1
A(u)=	(1+u1+u2)^2		(1+u1 +u2)^2

-u2

(1+u1+u2)²

1 + u1

(1+u1 +u2)²

Le pol_ynôme caractéristi_que étant donné par :

+ )²(1+u1+u2)

₃ .

PA (À) = À² - (2+ u1 + u2) 1

(1+ u1 +u2

Les valeurs propres sont données par :

1 1 À1 (u) = (1 + u1 + u2) 2 , À2 (u) = 1+u1+u2

.

Les vecteurs propres respectifs coorespondants aux valeurs propres sont donnés par :

Ç -u1 Ç -1

1

d1 (u) = _p ; d2 (u) = 1 _v2 .

u2 1 + _u2 -u2 -1

2

(1 + u1 + u2)3 ( 1, 1) et DÀ2 (u) =

-2

Comme

DÀ1 (u) =

(1+u1 +u2)²

^-1(1, 1).

Alors

2(u1 +u2)

(2.27) DÀ1 (u) d1 (u) ==6 0

(1 + u1 + u2)3 p u2 1 + u2 ₂

car u1 > 0,u2 > 0.

(2.28) DÀ2(u)d2(u) =0.

(2.27) et (2.28) entrainent _que le couple (À1 (u), d1 (u)) est vraiment non-linéaire et (À2 (u), d2 (u)) linéairement dé_généré. Dans cet exemple, les deux courbes de choc et de raréfactions coïncident i.e Si = Ri i = 1, 2.