Une introduction aux systèmes de lois de conservation

2.5 Système de deux lois de conservation.

(2.29) t + f² (u¹, u2) x = 0 dans

t + f¹ (u¹, u²)_x = 0

1

(0, 8) × R

_u2

Dans ce para_graphe, nous anal_yserons plus profondément le problème avec valeur initiale pour n = 2_; on aura à faire au s_ystème suivant

{ u

u1 (0, x) = u1 0 (x) ; u² (0, x) = u2 0 (x) dans {t = 0} × R. f = (f¹, f²) ; u0 = (ui , u² ₀) ; u = (u¹, u²) .

2.5.1 Invariants de Riemann.

Nous allons démontrer _que nous pouvons transformer le s_ystème (2.29) en la plus simple forme par un pertinant et approprié chan_gement de variables. L'idée est de chercher 2 fonctions w1, w² : R² ? R _qui possèdent de bonnes propriétés le lon_g des courbes de raréfaction R1 et R2 .

Définition 2.9. On dit que wⁱ : R² ? R est le j^e-invariant de Riemann si :
(2.30) Dwⁱ (u) est colinéaire à gj (u); (u E R² , j =6 j) .

Nous verrons comment la condition (2.30) est utile.

La _question _que l'on se pose ici est celle de l'existence de l'invariant de Riemann. En effet_; comme gi (u) d _j (u) = äij, (2.30) est donc é_quivalent dans R² à

(2.31) Dwⁱ (u) di (u) = 0,

_qui si_gnifie _que

(2.32) wⁱ est constant le lon_g de la courbe de raréfaction Ri (j = 1, 2).

En particuler, toute fonction régulière wⁱ satisfaisant (2.31)-(2.32) et (2.30) est le j^e-invariant de Riemann.

Remar_que 2.4. Dans le cas n > 2, les invariants de Riemann n'existent pas en _général.

A présent, posons w = (w1,w2) = (w¹ (u1,u2) ;w² (u1, u2)), comme des nouvelles

coordonnées dans l'espace d'état R² . Rempla_çant u = (u1,u2), on définit w : R² ? R2 par

w(u) =w(u1,u2) = (w¹ (u1,u2) ;w² (u1,u2)) .

La carte inverse est u(w) = u(w1,w2) = (u¹ (w1,w2) ;u² (w1,w2)). Si u = (u¹,u²) est une fonction ré_gulière de (2.29), on chan_ge les variables dépendantes par

(2.33) v(t,x) = w(u(t,x)) (t>0, x E R).

Question Quel s_ystème d'E.D.P satisfait v = (v¹,v²)?

Théorème 2.5. (Lois de conservation et Invariants de Riemann). Les fonctions v¹,v² sont solutions du s_ystème_;

{ v1 t + À2 (u) v1

(2.34) x = 0

x = 0 dans (0, 00) x R

v2 t + À1 (u) v2

Remar_que 2.5. Bien _que (2.34) ne soit pas écrit sous la forme de lois de conservation, il est beaucoup plus simple _que (2.29). En particulier, tandis _que l'E.D.P en u¹ comporte un terme en u² _x, l'E.D.P en v¹ ne comporte pas de terme v² _x. De la même fa_çon, l'E.D.P en v² ne comporte pas de terme v¹ _x.

Preuve. (Théorème 2.5)Utilisant (2.33), on obtient pour i = 1,2; i =6 j, v _t +Àj (u)v x = Dw (u)ut+Àj (u)Dw (u)u_x

= Dw (u) (ut + Àj (u) u_x)

= Dw (u) (-f (u)_x + Àj (u) u_x)

= Dw (u)(-Df(u)+Àj (u)I)u_x

=0,

car par définition, Dw (u) est colinéaire à gj (u)

Remar_que 2.6. *Nous pouvons interpréter le s_ystème d'E.D.P (2.34) en introduisant l'é_quation differentielle ordinaire

(2.35) ÿx (s)=Àj (u(s,x(s))) (s~0)

pour i = 1,2, i =6 j. Alors au vu de (2.34), on a :

(2.36) v est constant le lon_g de la courbe (s, x (s)), (s ~ 0).

*Sachant _que la condition de non linéarité s'écrit :

(2.37) DÀ (u)d (u) =60

Re_gardant À comme une fonction de w = (w1, w2), on réécrit (2.37) pour avoir

(2.38) 8À =6 0 (w E R², i=6j).

8wj

Montrons _que (2.37) et (2.38) sont é_quivalents. Supposons (2.38) faux, alors :

(2.39)	8À 0 =8wj	=	2 X k=1	8À		8u^k
				8uk		8wj

Or 2 8w 8uk= ä j, par comparaison avec (2.39), on a DÀ et Dw ortho_gonaux au k=1 8uk 8wj

u 8u1

, 8u2

vecteur non nul , dont DÀ est colinéaire à Dw . Cependant

8wj 8wj

Dw perpendiculaire à d , et nous obtenons la contradiction (2.37). D'où (2.37) = (2.38), l'implication inverse est établie de la même fa_çon.