Chapitre 3
Valuations sur les anneaux non
commutatifs
Les valuations peuvent être définies sur
les anneaux à divisions comme dans le cas commutatif, mais il y a peu
d'applications jusqu'à présent. C'est sans doute en raison des
difficultés inhérentes à la manipulation des
valuations générales. Cependant, elles deviennent plus dociles
dans des cas particuliers, et offrent la perspective d'un moyen
d'obtenir des informations sur les anneaux à divisions. Nous
présentons ici une partie de la théorie générale
qui est parallèle au cas commutatif.
3.1 Anneau de valuation d'un anneau à
division
La notion de base qui joue le rôle principal
dans la théorie des valuations est celle de groupe totalement
ordonné :
Définition 3.1.1. -- On dit qu'un groupe
(G,+), non
nécéssairement commutatif, est totalement ordonné (ou
linéairement ordonné) s'il est muni d'une relation d'ordre
binaire >_ qui satisfait les axiomes suivants pour tout
á, 3, y E G
i) á >_ 3 ou 3
>_ á ;
ii) si á >_
3 et 3 >_ á alors
á = 3 ;
iii) si á >_
3 et 3 >_ y alors
á >_ y ;
iv) si á >_
3 alors y+á >_
y+3 et á+y
>_ 3+y.
·
Si >_ est une relation d'ordre dans un
groupe G on écrit á > 3 si
á >_ 3 et
á * 3 , on écrit aussi
á <_ 3 si 3
>_ á et á < 3
si 3 > á,.
35 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
Ils existent dans le cas non commutatif, des
généralisations différentes d'anneau de
valuation. Nous considérons la généralisation qui a
été proposé pour la première fois en 1945 par
Schilling [6], qui a étendu la notion de valuation sur les
corps(commutatifs) à celle sur les anneaux à
divisions.
Définition 3.1.2. [6]-- Soient
(G,+,>_)
un groupe totalement ordonné, oo un symbol spécial tel que x
+ oo = oo + x = oo pour tout x E G et D un anneau à division. Une
valuation sur D est une application surjective v : D - G U {oo} qui
satisfait les conditions suivantes pour tout x, y
dans G :
1. v(x) < oo;
2. v(x) = oo si et seulement six =
0;
3. v(xy) = v(x)
+v(y);
4. v(x + y) >_
min(v(x),v(y))
.
·
Remarquons que si D est un corps
(commutatif), alors il découle de 3) de la définition 3.1.2 que
D n'admet que les valuations dont le groupe G est
abélien.
Remarque 3.1.1. -- Soit v une valuation sur un
anneau à division D et D* le groupe multiplicatif. Notons U =
{u E D* : v(u) = 0} . Si
u1,u2
E U alors v(u1u2) =
v(u1) + v(u2) = 0 et
v(u2u1) = v(u2) +
v(u1) = 0, i.e.
u1u2,u2u1
E U . Soit 1 l'identité de D . Alors
v(1) = v(12) = v(1) + v(1) ce
qui entraine que 1 E U . Si u E U alors 0 = v(1) =
v(uu-1) = v(u) +
v(u-1) =
v(u-1) , i.e. u-1
E U . Par conséquent U est un sous-groupe de D* .
On l'appelle le groupe des unités de valuation. Soit x E D*, alors
v(xux-1) = v(x) +
v(u) + v(x1) =
v(x) + v(x-1) =
v(xx-1) = 0 pour tout x E U . Donc U est
un sous-groupe distingué de D* qui est égal à
ker(v) . D'où,
D*/U =
G
Proposition 3.1.1. -- Soient
(G,+,>_)
un groupe totalement ordonné, et v : D - G U {oo} une
valuation d'un anneau à division D . Alors A = {x E D :
v(x) >_ 0} est un sous-anneau de D.
·
36 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
Démonstration. --Soient
x, y E A, alors
v(x),v(y)
>_ 0. D'où v(xy) =
v(x)+v(y) >_ 0 et v(x+
y) >_
min(v(x),v(y))
>_ 0, par conséquent xy E A et x+
y E A . En outre, v(-x) =
v((-1)x) =
v(-1) + v(x) =
v(x) >_ 0, pour tout x
E A .
Définition 3.1.3. -- Un sous-anneau A d'un
anneau à division D est appelé anneau de valuation invariant (ou
simplement anneau de valuation) de D s'il existe un groupe totalement
ordonné G et une valuation v : D - GU{oo}
telle que A = {x E D : v(x) >_
0}.
Lemme 3.1.1. -- Soit A un anneau de valuation d'un
anneau à division D relativement à une valuation v . Alors U
= U(A) où U(A) est le
groupe des unités de A, et U = {x E D :
v(x) = 0}.
Démonstration. -- On suppose que u
E U(A) , alors il existe un élément w
E U(A) tel que uw = 1. D'où 0 =
v(uw) = v(u)+v(w), et
donc v(u) = v(w) = 0 (car
v(u) >_ 0 et v(w) >_ 0) .
Inversement, supposons que u E D et v(u) =
0, alors u-1 E D*
et v(u-1) = v(u)
=
0. Ainsi on a
u,u-1 E
A, ce qui prouve que u E
U(A) .
Pour tout anneau de valuation invariant A
associé à la valuation v on note M =
{x E D : v(x) >
0} = A \ U l'ensemble des éléments
non inversibles de A.
Lemme 3.1.2. -- Un anneau de valuation invariant A
est un anneau local d'idéal maximal unique M .
Démonstration. -- soit
x, y E M et a
E A . Alors :
1) v(x + y) >_
min(v(x),v(y))
> 0, d'où
x + y E M ;
2) v(xa) =
v(x)+v(a) > 0
et v(ax) = v(a)+v(x)
> 0, d'où
ax,xa E M . M
est donc un idéal de A . Montrons que M est
maximal dans A . Supposons que I est un idéal de A
tel que
MÇIÇA.Ilexiste u
E I\M c A\M = U . On a donc,
1 = u-1u = uu-1 E
I. D'où, I =
A, i.e. M est un idéal
maximal de A . Comme M = A \ U est
l'ensemble de tout les éléments non inversibles de A ,
alors A est un anneau local d'idéal maximal unique
M.
37 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
Lemme 3.1.3. [6] -- Si A est un anneau de
valuation d'un anneau à division D relativement à une valuation
v, alors A et M sont des sous-ensembles invariants de D, et on a
dAd-1 = A et dMd-1 = M pour tout d
? D* .
·
Démonstration. -- Supposons que
dAd-1 Z A pour
un d ? D* . Alors il existe un
élément x = dyd-1 ? dAd-1
avec y ? A et x A . D'où
v(x) < 0 et
v(y) = 0 . Et comme y = d-1xd et
G est totalement ordonné, alors v(y) =
v(d-1)+v(x)+v(d)
<
v(d-1)+v(d)
= v(1) = 0 . Cette contradiction montre que
dAd-1 ? A pour tout d ? D*
. D'autre part si x ? A , on a pour tout d ?
D*,x =
d(d-1xd)d-1
? dAd-1 . Ainsi ona A ? dAd-1
.
Supposons que dMd-1 Z
M pour un élément x ? D*
. Alors il existe x = dyd-1 ? dMd-1
avec y ? M et x M . Comme dMd-1
? dAd-1 = A et A = M ?
U, alors x ? U . De la
remarque 3.1.1, U est un sous groupe invariant de D*
, et donc y = d-1xd ? U .
D'où y ? MnU = Ø . Cette contradiction
montre que M est un sous-ensemble invariant
de D* .
Le théorème suivant donne une
définition équivalente d'un anneau de valuation, similaire aux
domaines de valuation des corps(commutatifs).
Théorème 3.1.1. (O.F.G. Schilling
[6]) -- Soit A un sous-anneau d'un anneau à division D . Alors les
assertions suivantes sont équivalentes :
1. A est un anneau de valuation relativement
à une valuation v sur D ;
2. A est un sous-anneau invariant de D , et pour
tout x ? D* on a : x ? A ou x-1
? A .
·
Démonstration. -- 1) 2) . A
est un sous anneau invariant découle du lemme 3.1.3. On suppose que
x ? D* et x A, on a
v(x) < 0 et 0 = v(1)
= v(xx-1) =
v(x)+v(x-1), d'où
v(x-1) = -v(x) = 0 .i.e
x-1 ? A .
2) 1) . Supposons que A est un sous-anneau
invariant d'un anneau à division D, avec groupe des
unités U(A) . Soit u ? U(A)
et d ? D* . Alors x = dud-1 et
x-1 = du-1d ?
A. D'où
x,x-1 ?
U(A) .i.e. U(A) est un sous-groupe
distingué de D* .
Posons M = A \ U(A) , et
montrons que M est aussi invariant dans D* . Soit
d ? D* , supposons dMd-1
* M . Il existe alors un élément
x = dyd-1 ? dMd-1 avec y ?
M et x M . Notons que x ? A puisque A
est un sous-groupe distingué (invariant par
38 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
hypothèse) de D* . D'où x E
U(A) et y = d-1xd E U(A),
car A est invariant dans D* . On a alors y E M n
U(A) = 0 . Cette contradiction prouve que M est
invariant dans D* .
Comme U(a) est un sous-groupe
distingué de D* , on peut considérer le groupe facteur
G = D*/U(A) comme
un groupe additif et définir l'application naturelle v : D
- GU{oo} telle que v(d) = dU(A) =
U(A)d pour tout d E D* et
v(0) = oo . Abusivement, v(du) =
v(ud) pour tout u E U(A). v est alors
une application surjective avec Ker(v) =
U(A). On introduit l'ordre total dans G en supposant que
v(x) < oo pour tout x E D . Soient
a,b D* . On a
par hypothèse a-1b E A où
b-1a E A. Supposons que
a-1b E A, alors
a(a-1b)a-1 =
ba-1 E A, puisque A est un anneau invariant
dans D* . On utilise ce fait pour ordonner le groupe G
. On pose v(a) >_ v(b) si
ab-1 E A (et ba-1 E
A). On vérifie aisément que G muni de cette
relation est un groupe totalement ordonné. Montrons que v est
une valuation de D d'anneau de valuation A . On a
:
1) v(x) < o o;
2) v(x) = oo si et seulement
si x = 0 ;
3) v est surjective;
4) v(d) = 0 si et seulement
si d E U(A) ;
5) v(ab) =
v(a)v(b) ;
6) soient a,b E D*
tels que a+b * 0
. Supposons que v(a) >_ v(b) dans G
. Alors ab-1 E M où ab-1
E U(A) . Dans les deux cas ab-1
+1 E A . Comme (a+b)b-1
= ab-1 +1 E A , alors
v(a + b) >_ v(b) =
min(v(a),v(b))
. Si a + b = 0, alors v(a + b) = oo et nous
avons aussi
v(a + b) >_
v(b) =
min(v(a),v(b))
.
Ce théorème permet d'introduire d'autres
approches de généralisations de la notion d'anneau de valuation
dans un anneau à division.
Définition 3.1.4. -- Un sous-anneau A d'un
anneau à division D est dit anneau de valuation total si pour tout x E
D* on a : x E A ou x-1 E A .
·
Le théorème 3.1.1 montre que tout
anneau de valuation invariant est un anneau de valuation total ; la
réciproque n'est pas vrai en général. Un contre exemple
est donné dans [8, § 9], nous ne l'introduisons pas ici sous
prétexte de manque d'outils mathématiques
nécéssaires pour le traiter.
39 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
Lemme 3.1.4. (O. F. G. Schilling [6] ) -- Soient A
un anneau de valuation d'un anneau à division D pour une valuation v et
a,b E A . Alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
1. a = bc1 , où c1 E A
;
2. a=c2b,oùc2 E A
;
3. v(a) >_ v(b)
.
·
Démonstration. --
1),2) 3) . Supposons que a = bc1 =
c2b, avec c1c2 E A . Alors,
par application de la condition iv)
de la définition 3.1.1 on a : v(a) =
v(b)+v(c1) = c2
+v(b) >_ v(b) .
3) 1),2) . Supposons que
v(a) >_ v(b) et b
* 0 , alors v(ab-1)
>_ 0 et v(b-1a) >_
0, d'où ab-1 E A et
b-1a E A . Ainsi on a, a =
b(b-1a) =
(ab-1)b . Supposons que
v(a) >_ v(b) et b = 0 , alors
v(a) >_ v(b) = oo et a =
0. D'où a est un multiple à gauche et à
droite de
B.
Rappels sur les anneaux de fractions.
Dans la théorie des anneaux commutatifs, tout
anneau intègre possède un corps de fractions. Ce résultat
est généralisé en construisant l'anneau de fractions d'un
anneau commutatif quelconque. Il en va autrement dans le cas non commutatif ;
certaines conditions doivent être ajoutées pour assurer
l'existence de l'anneau de fractions. Nous rappelons ici la définition
et des conditions générales d'existence de l'anneau de fractions
1.
Soit R un anneau, S un sous-monoide
de (R,.) (on dit aussi partie multiplicative
de R). On appelle anneau de fractions à gauche de
R relativement à S , la donné d'un anneau A
et d'un morphisme d'anneaux ne : R - A
, tels que :
1. bx E S,
ne(x) est inversible dans A ;
2. bx E A , il existe a E
R, s E S : x =
ne(s)-1ne(a)
;
3. Kerne={aER/
3 s E S : sa = 0}.
On dit aussi que S est un dénominateur
à gauche pour R .
Le théorème suivant donne les conditions
d'existence de l'anneau de fractions.
1. Théorie des modules et structure des anneaux ,
cours de Master Mathématiques Fondamentales 2010/2012 Par A.
Ha·ily.
40 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
Théorème 3.1.2. -- Soit R un anneau
et S une partie multiplicative de R . Alors l'anneau de fractions à
gauche de A existe, si et seulement si, Va ? R,
Vs ? S, on a :
(i) - Sa n Rs ~
Ø ; (Condition d'Ore).
(ii)- as = 0 It ? S
: ta = 0. De plus, si l'anneau de fractions à gauche
relativement à S existe, alors il est unique à un isomorphisme
près. On le note S-1R.
·
L'anneau de fraction à droite
RS-1 est définit de la même manière.
Notons que l'existence de S-1R n'implique pas
celle de RS-1 . Mais lorsque les deux anneaux existent, ils
sont alors isomorphes.
Si S-1R existe et tout
élément de S est régulier, le morphisme canonique
q : R ? S-1R est
injectif. Donc R est isomorphe à un sous anneau de
S-1R. En particulier si S est l'ensemble
de tout les éléments réguliers de R,
S-1R est appelé l'anneau total de fractions
à gauche de R. On dit alors que R est un ordre
à gauche dans S-1R.
On appelle domaine d'Ore à gauche, tout anneau
sans diviseur de zéro (domaine) tel que
Va,b ? R*,
RanRb ~ {0}.
Proposition 3.1.2. -- Soit R un anneau. Alors R
est un anneau d'Ore à gauche, si et seulement si, R est un ordre
à gauche dans un anneau Q. Dans ce cas, Q S-1R sur
R. Si, en plus, R est un domaine, alors Q est un anneau à division.
·
De manière analogue on définit un
domaine d'Ore à droite. Un domaine d'Ore, est un domaine d'Ore à
gauche et à droite . Pour plus de détails sur les anneaux d'Ore
voir ([2], chapitre 4, §10).
Les propriétés de base d'anneaux de
valuation invariants sont données dans la proposition
suivante:
Proposition 3.1.3. . Soit A un anneau de valuation
invariant d'un anneau à division pour une valuation v.
Alors:
1. aA ç bA où bA
ç aA pour tout a,b ? A
;
2. Tout idéal de A est
bilatère.
3. A est un domaine d'Ore à gauche et
à droite. D'où il possède un anneau de fractions classique
à gauche et à droite qui est un anneau à division
isomorphe à D.
41 A.Belkhadir
3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À
DIVISION
4. Tout idéal de A de type fini
(engendré par un nombre fini d'éléments) est principal (
on dit que A est un anneau de Bézout).
·
Démonstration. -- 1. Découle
immédiatement du lemme 3.1.4 .
2. Soit I un idéal à gauche de
A, alors AI c I . On a AI = I car 1 E A
. Soit x = Eni=1 yiai un
élément de l'ensemble IA , où yi E I
et ai E A . Alors v(yiai) =
v(yi) + v(ai) >_ v(yi) .
Du lemme 3.1.4 on déduit que yiai = biyi pour des bi E
A . D'où x = En i=1 biyi E AI =
I , doù IA S I et I est donc un
idéal à droite.
3. Soit I = xA, comme I est un
idéal bilatère on a AI = AxA = xA . De même,
Ax = AxA . D'où Ax = xA . A satisfait donc les
conditions d'Ore à gauche et à droite. Comme A est un
domaine , il possède un anneau de fractions classique à gauche et
à droite qui est un anneau à division.
4. Soit I = a1A + a2A +
... + anA où
ai E A pour tout 0 < i < n . A
est un anneau de valuation, donc on peut choisir parmi les ai un
élément de valeur minimale. Sans perdre la
généralité, on peut considérer que
v(ai) >_ v(a1) pour tout i . Du
lemme 3.1.4
on déduit que aiA c a1A
pour tout i >_ 0 . D'où I = a1A .
Le théorème suivant donne des
définitions équivalentes d'un anneau de valuation invariant (non
commutatif).
Théorème 3.1.3. -- Soit A un anneau.
D un anneau à division de fractions de A . On suppose que A est
invariant dans D . Alors les assertions suivantes sont équivalentes
:
1. A est un anneau de valuation invariant pour une
valuation v sur D ;
2. L'ensemble des idéaux principaux
à gauche ( à droite) de A est linéairement ordonné
par inclusion;
3. L'ensemble de tout les idéaux de A est
linéairement ordonné par inclusion.
·
Démonstration. -- 1) 2) . Soient
a,b E A tels que
v(a) >_ v(b) . Du lemme 3.1.4 on
déduit que a E bA et a E Ab,.
D'où aA S bA et Aa c Ab
.
2) 3) . Soient I et J deux
idéaux à droite de A . Supposons que I n'est
pas contenu dans J , et soit x un élément non
nul de I\J . Soit y un élément
quelconque de J . Comme x J , x yA. Donc xA Z yA
. D'où, yA c xA g I . Il s'ensuit que
JgI.
42 A.Belkhadir
3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON
COMMUTATIVE)
3) = 1) . A est un domaine dont
l'anneau à division de fractions est D . Soit x E D*
, alors x = ab-1 pour
a,b E A . A est un
anneau unisérial, donc Aa S Ab ou Ab S Aa ; si Aa
S Ab alors a = rb pour un r E A . D'où x =
ab-1 = rbb-1 = r E A . Si Ab S
Aa alors b = sa avec s E A . Donc x-1
= ba-1 = saa-1 = s E A .
Comme A est invariant dans D par
hypothèse, on déduit du
théorème 3.1.1 que A est un anneau de valuation.
| 
