Introduction aux valuations

3.2 Valuation discrète (non commutative)

Par analogie au cas commutatif, on peut introduire la notion d'anneau de valuation discrète d'un anneau à division.

Définition 3.2.1. -- Un sous-anneau A d'un anneau à division D est dit anneau de valuation discrète (non commutatif) si il existe une valuation (discrète) v : D - Z de D telle que A={xED:v(x)>_0}.
·

Les propriétés de bases d'un anneau de valuation discrète sont données dans la proposition suivante :

Proposition 3.2.1. -- Soient A un anneau de valuation discrète d'un anneau à division D relativement à une valuation v, t un élément de A tel que v(t) = 1 . Alors :

1. A est un domaine local d'idéal maximal unique non nul M = {x E A : v(x) > 0} ;

2. Tout élément non nul x E A s'écrit de manière unique sous la forme x = tⁿu = wtⁿ , pour u,w E U(A) , et n E Z⁺ . Si D est un anneau de fractions de A , alors tout élément y E D* s'écrit de manière unique sous la forme y = tⁿu = wtⁿ , pour u,w E U(A) et n E Z .

3. Tout idéal unilatère I de A est un idéal bilatère et s'écrit sous la forme I = tⁿA = Atⁿ pour un n E Z⁺ , i.e. A est un anneau principal ( tout idéal unilatère de A est principal). En particulier, M = tA = At, et I = Mⁿ = tⁿA = Atⁿ .

4.

00

n

i=1

Mi = 0, où M est l'unique idéal maximal de A .

5. A est un anneau noethérien.
·

3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON COMMUTATIVE)

Démonstration. -- 1. Cette assertion découle directement du lemme 3.1.2, puisque l'anneau de valuation discrète est un cas particulier d'anneaux de valuation.

2. Soit t un élément fixé de A tel que v(t) = 1, et x E A tel que v(x) = n . Alors t E M, et v(xt-ⁿ) = v(x) - n = 0 = v(t-ⁿx) . Il découle du lemme 3.1.1 que xt-ⁿ = u E U(A) et t-ⁿx = u1 E U(A) . D'où x = utⁿ = tⁿu1 .

Soit y E D^*, Comme D est un anneau à division de fractions de A , y s'écrit sous la forme y = ab-¹ avec a,b E A . Soit a = tⁿu et b = t^mw avec u,w E U(A) et n,m E Z⁺ . Alors (tⁿu)(t^mw)-¹ = tⁿ-^mu1w1 = u2w2tⁿ-^m où _u1w1,u2w2 E U(A) et n - m E Z .

3. comme A est unneau de valuation, tout idéal de A unilatère est bilatère. Soit I un idéal de A . Choisissons dans I un élément x de valeur v(x) = n minimale. Alors x = tⁿu = wtⁿ avec u,w E U(A) . D'où tⁿA S I et Atⁿ S I . Soit y E I , alors y = t^mw avec m >_ n . V(t-ⁿy) >_ 0, d'où t-ⁿy E A et y E tⁿA . Par conséquent I = tⁿA . De la même manière, on montre que I = Atⁿ ; en particulier, comme t E M , M = tA = At , et Mn = tⁿA = Atⁿ = I .

4. Supposons que N = n00i=0Mi # 0. Soit x un élément non nul de N tel que v(x) = n >_ 0 . Alors x = tⁿu E Mⁿ avec u E U(A). Comme x E N , x E Mⁿ⁺¹ . D'où x = tⁿ⁺¹w avec w E U(A) . On a tⁿu = tⁿ⁺¹w . Comme A est un domaine, u = tw E M . Contradiction, d'où N = 0.

5. Découle immédiatement de 3) et du théorème 3.1.3.

Proposition 3.2.2. -- Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est un domaine de valuation discrète(non commutatif);

2. A est un anneau local d'idéal maximal non nul M de la forme M = tA = At, où t E A

est un élément non nilpotent, et

00 n i=1

Mi = 0 .

43 A.Belkhadir

Démonstration. -- 1) = 2) . Il découle de la proposition 3.2.1 que A est un anneau local d'idéal maximal non nul M de la forme M = tA = At, où t E M tel que v(t) = 1. Comme A est un domaine, t est un élément non nilpotent.

2) = 1) . Comme M = tA = At, il est facile de montrer directement que Mⁿ = tⁿA = Atⁿ . Montrons que tout élément non nul x E A a une représentation unique sous la forme x = tⁿu = wtⁿ , où u,w E U(A) et n E Z⁺ . Soit x U(A) , alors x E M . Comme

3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON COMMUTATIVE)

fl8 i=1 Mi = 0, il existe un entier n = 1 tel que x ? Mⁿ mais x Mⁿ⁺¹ . Alors x = tⁿu, où u M. D'où u ? U(A). De manière analogue on montre que x = wtⁿ .

L'anneau A est un domaine. En effet, supposons qu'ils existent x, y ? A tels que xy = 0. Soient x = tⁿu,y = t^mw et ut^m = t^mu1 avec u,w,u1 ? U(A). Alors xy = t^n+mu1w = 0, et parsuite t^n+m = 0, qui n'est pas le cas, puisque t n'est pas nilpotent. Contradiction.

Montrons que A est un domaine d'Ore à gauche et à droite. Soient x, y des éléments non nuls de A. Supposons que x = tⁿu,y = t^mw et ut^m = t^mu1 et wtⁿ = tⁿw1 avec u,w,u1,w1 ? U(A). Alors xy = tⁿut^mw = tⁿt^mu1w = t^mtⁿu1w = t^mww-¹tⁿu1w = yx1 où x1 = w-¹tⁿu1w ? A . De même, yx = xy1 , où y1 = u-¹t^mw1u . Ceci montre que A satisfait les conditions d'Ore à gauche et à droite, parsuite A admet un un anneau à division de fractions D . Tout élément d de D^* s'écrit sous la forme d = ab-¹ où a,b ? A . Si a = tⁿu et b = t^mw avec u,w ? U(A) et m,n ? Z⁺ ; alors d = tⁿ-^mE, où n - m ? Z et E ? U(A). Si on pose v(d) = v(tⁿ-^mE) = n - m ? Z, on obtient une valuation de D d'anneau de

valuation discrète A . ~

Proposition 3.2.3. -- Les assertios suivantes sont équivalentes pour un anneau A :

1. A est un domaine de valuation discrète;

2. A est un domaine principal local qui n'est pas un anneau à division;

3. A est un anneau local noetherien d'idéal maximal non nul qui est bilatère et principal;

4. A est un anneau local noetherien à droite (à gauche) d'idéal maximal non nul M qui s'écrit sous la forme M = tA = At où t ? A est un élément non nilpotent.
·

Démonstration. -- Les implications 1) 2),3),4) sont prouvées au-dessus. Les implications 2) 3), 3) 4) sont triviales.

4) 1). Soit A un anneau local noethérien d'idéal maximal M ~ 0 , et M = tA = At. Notons que Mⁿ ~ Mⁿ⁺¹ pour tout n ? Z⁺ . Sinon, le lemme de Nakayama entaine que Mn = 0 , et tⁿ = 0, ce qui n'est pas le cas puisque t est un élément non nilpotent.

Montrons que

\8 i=1

Mi = 0 . Sinon, il existe un élément x ?

\8 i=1

Mi . x = a0 = a1t =

44 A.Belkhadir

a2t² = ... = a_ntⁿ = ..., pour des ai ? A.

ai U(A) pour tout i = 0. Sinon, ai - ai+1t ? U(A), et comme aitⁱ = ai+1tⁱ⁺¹ , on aura ti = 0, contradiction. On a alors une chaine accendente d'idéaux principaux à droite

3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION DE DIMENSIONS FINIES

a1A ? a2A ? ... qui est stationnaire car A est noethérien, i.e. il existe un entier n > 0 tel que a_nA = an+1A . D'où, an+1 = a_nb et a_n = an+1c pour b,c ? A,. Ainsi on a, an+1 = a_nb = an+1cb, ^et _an+1(1 -cb) = 0 . Comme 1 -cb ? U(A), an+1 = 0. D'où, x = 0. Cette

contradiction montre que

\8 i=1

Mi = 0. On peut maintenant appliquer la proposition

45 A.Belkhadir

3.2.2. El

Proposition 3.2.4. -- Les assertions suivantes sont équivalentes pour un anneau:

1. A est un domaine de valuation discrète;

2. A est un anneau de valuation noetherien.
·

Démonstration. -- L'implication 1) 2) est prouvée dans la proposition 3.2.1.

2) 1). Soit A un anneau de valuation noethérien. Alors tout idéal de A est de type fini, et il est principal par application de la proposition 3.1.3. Par conséquent, A est un domaine principal local qui n'est pas un anneau à division. On peut enfin appliquer

la proposition 3.2.3. El