3.3 Valuations sur les algèbres à
division de dimensions finies
Soient D un anneau à division, v
: D* ? G ? {8} une valuation sur D
avec G un groupe totalement ordonné non
nécéssairement abélien.
Si E est un sous-anneau de D, la
restriction de v à E est une valuation. Dans ce cas on
dit que (D,v) est une
extension de
(E,v).
Dans la théorie des valuations commutatives, ,
si F ? K est une extension de corps commutatifs, alors toute
valuation sur F possède au moins une extention sur K .
Par contre, si on remplace les corps F et K par des anneaux
à division, cettre propriété d'extension n'a pas toujours
lieu. Cette défaillance est un obstacle majeur dans la théorie
des valuation non commutatives.
Rappelons qu'une algèbre simple centrale A
est dite déployée si A Mn(K),
pour un certain n ? N . Une extension L de K
contenue dans A est appelée corps de
46 A.Belkhadir
3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION
DE DIMENSIONS FINIES
déploiement de A si A?K L
Mn(L) pour un certain n ? N. Si A
est à division et L est maximale de A alors L
est un corps de déploiement de A. En plus dimKL =
vdimKA.
Soit maintenant A une algèbre simple
centrale sur F et soit K un corps de déploiement de
A , considérons un isomorphisme i : A?K
? Mn(K). Le morphisme
? :A ?
i(A)
a 7? a?1K ?
Mn(K).
est injectif, et identifie A à
i(A).
Pour tout a ? A , on définit le
polynôme caractéristique de a ?1 par:
P(X,a)
=det(XIn - (a?1))
=Xn +bn-1Xn-1
+...+b1X+b0.
où bi ? K,
0 = i = n -1 .
P(X,a)
? F[X] , et ne dépend pas du choix du corps de
déploiement de A. Il est appelé le polynôme
caractéristique de a. Le coéfficient
(-1)nb0 est la norme réduite de
a, on écrit Nrd(a) =
(-1)nb0 . Cette norme est multiplicative
2.
Le théorème suivant donne un
critère précis pour qu'une valuation possède une extension
à une F-algèbre centrale à division.
Théorème 3.3.1. -- Soit D une
algèbre à division de dimension finie sur son centre F, et soit v
une valuation sur F. Si v possède une unique extension à tout
corps K tel que F ? K ? D, alors v s'étend en une
valuation sur D.
·
Démonstration. -- Soit FF =
v(F*) le groupe des valeurs de v ,qui est
un groupe abélien sans torsion. Soit A la clôture divisible de
FF (A FF ?Z Q) . L'ordre total de FF s'étend
de manière unique à A, et pour tout corps L
algébrique sur F et toute extension w de v
à L on peut voir w(L*) comme
un sous-groupe de A .
On suppose que v s'étend de
manière unique à tout corps K , F ? K
? D . Définissons la fonction w :
D* ? A par:
|
1
w(a) = n
|
v(Nrd(a)),
(3.1)
|
2. Ces rappels sont pris du cours de Master sur les
algèbres simples centrales enseigné par le Prof. A. Serhir
.
47 A.Belkhadir
3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION
DE DIMENSIONS FINIES
',,/où n = dimF(D) ?
N. Il est clair que la restriction w|F de w à
F coincide avec v. Nous devons montrer que w est une
valuation sur D. D'abord on vérifie que pour tout sous-corps
maximal K de D, w|K est la valuation sur
K qui étend v. Soit M la clôture
normale de K sur F, et soit u : M*
? A une valuation quelconque sur M prolongeant v sur
F. Pour tout b ? K*
Nrd(b) =
NK/F(b) =
b1...bn ,
où tout bi ? M est le conjugué de b
sur F. Pour tout i il existe un F-automorphisme
ai de M tel que
ai(b) = bi . Comme
u|K et
(u?ai)|K sont
toutes les deux des valuations sur K prolongeant v , elles
sont égales d'après l'hypothèse du théorème.
Donc, u(bi) =
u(ai(b)) =
u(b) . Par conséquent,
|
1
w(b)
=n
|
1
v(Nrd(b)) =
n
|
v(b1...bn)
|
1
=(u(b1) + ...
+ u(bn)) n
=u(b).
Ainsi, w|K = u|K ,
qui est une valuation sur K prolongeant v.
Pour voir si w est une valuation sur D
tout entier, prenons a,b
? D* . Puisque Nrd est
multiplicative on a, w(ab) = (a) +
w(b). Supposons b = -a, et soit K
un sous-
corps quelconque de D contenant
a-1b. Comme w|K est une
valuation, w(1 + a-1b) =
( )
min
w(1),w(a-1b)
. En utilisant la propriété multiplicative de w on
aura:
( )
w(a + b)
=w(a) + w(1 + a-1b) =
w(a) + min
w(1),w(a-1b)
=min(w(a),w(b)).
Remarque 3.3.1. -- La réciproque de ce
théorème est vraie aussi, on peut consulter [7] pour une
démonstration.
Un autre critère fondamental a été
prouvé par Morandi [3] :
Une valuation v sur F s'étend en une
valuation sur D si et seulement si D reste une algèbre à division
après l'extension des scalaires à la Henselisation Fh de F pour
v.
rappelons que la Henselisation Fh de F
pour v est la petite extension algébrique de
(F,v) qui vérifie le
lemme de Hensel.
Soit V un anneau de valuation de D
pour une valuation v , Comme dans le cas commutatif, on dit que
x ? D est entier sur V s'il existent
a0,a1,...,an-1
dans V tels
48 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
que xn +an-1xn-1
+...+a0 = 0 . Comme tout
idéal de V est bilatère, cette définition est
équivalente à xn +
xn-1bn-1 + ...
+b0 = 0 pour
b0,...,bn-1
E V .
V est dit intégralement clos
si tout les éléments de D qui sont entiers sur
V appartiennent à V .
Proposition 3.3.1 ([5]). -- les anneaux de valuations
invariants sont intégralement clos.
| 
