3.4 Valuations sur les algèbres à
involution
Soient D un anneau à division de
dimension finie sur son centre Z(D) = F, F
un groupe abélien totalement ordonné divisible.
Soit w : D ? F U {oo} une valuation sur
D . On associe à la valuation w :
- Son groupe de valeurs FD =
w(Dx) où Dx = D
' {0} est le groupe
des unités de D ;
- Son anneau de valuation VD ;
- L'unique idéal maximal à gauche( et
à droite), MD de VD. ;
- L'anneau à division résiduel, D =
VD/MD.
Une autre structure clé est l'anneau
gradué associé. Pour ã E F
on pose,
D''-ã = {d E
D, w(d) ''-
ã} et
D>ã = {d E D,
w(d) >
ã}.
®
D>ã est un sous
groupe de D''-ã.
Soit Dã
=
D''-ã/D>ã
, et posons grw(D) =
ãEF Dã Soient
ã et ä dans F , la
multiplicaton dans D induit une multiplication bien définie de
Dã x Dä
dans
Dã+ä
par : (c +
D>ã).(d +
D>ä) = cd
+D>ã+ä.
En effet, soient c' E D''-ã
et d' E
D''-ä tels que c'
+ D>ã = c +
D>ã , d' +
D>ä = d +
D>ä , c c' et
d d'. Comme w(c - c')
> ã , w(d - d')
> ä ; alors, w(cd -
c'd') = w(c(d -
d') + (c -
c')d') ''-min{w(c(d -
d')),w((c -
c')d')}.
Or, w(c(d - d'))
= w(c) + w(d - d') >
ã + ä, et w((c -
c')d') = w(c -
c') + w(d') > ã
+ ä ; alors w(cd -
c'd') > ã +
ä.
D'où cd
+D>ã+ä =
c'd' +D>ã+ä
.i.e. cd
+D>ã+ä ne
dépend pas du choix de c et d.
Cette multiplication peut être prolongée
bi-additivement à grw(D) tout entier, et
permet d'y définir une structure d'anneau gradué.
49 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
®
grw(D) =
ã?r Dã
est appelé l'anneau gradué associé à
D relativement à la valuation w. On écrit aussi
gr(D) pour désigner
grw(D) s'il n'y a pas de confusion à
craindre.
rgr(D) = {ã
? r, Dã
# 0} est le groupe des grades de
gr(D).
Remarque 3.4.1. :
1. rgr(D) = rD.
2. D0 , la composante de
gr(D) de degré 0, est D0 =
D=0/D>0
= VD/MD = D l'anneau de
division résiduel.
3. On note d l'image de d dans
gr(D) .i.e. d = d +
D>w(d) ?
Dw(d). Les éléments
homogènes de gr(D) sont les éléments de
Uã?r
Dã.
4. gr(D) est un anneau à
division gradué, i.e. tout élément homogène non nul
de gr(D) est inversible. En
effet,
si d ?
Dã , avec d *
0, alors w(d) = ã
(sinon w(d) > ã .i.e.
d = 0).
w(d) = ã
entraine que d * 0 . D'où
(d +
D>ã).(d-1
+ D>-ã)
= (d-1 +
D>-ã).(d
+ D>ã) =
1+D>0 =
1+MD = 1? D0.
De même si D = F est un corps (commutatif) ,
gr(F) est dit corps gradué (i.e., tout
élément homogène non nul est inversible).
3.4.1 Normes et jauges sur les espaces
vectoriels
D est un anneau à division et v
une valuation sur D.
Définition 3.4.1. Soit M un espace
vectoriel à droite de dimension finie sur D. Une application
á : M ? r ? {8} est dite
fonction de valeur( relativement à v sur D) si pour tout m, n ?
M et d ? D, on a :
á(m) = 8 ssi m = 0;
(3.2)
á(md) =
á(m) + v(d).
(3.3)
á(m + n) =
min(á(m),á(n)).
· (3.4)
Remarque 3.4.2. :
50 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
· á(-m) =
á(m);
· á(m + n) =
á(m - n) =
min(á(m),á(n))
si á(m) *
á(n) ;
· rM =
{á(m)|m E
M,m * 0} g
r.
Pour tout y E r, on
définit les groupes abéliens M'-y
et M>y
et My de la
même façon que pour D :
M'-y =
{m E
M|á(m) '- 0},
M>y =
{m E
M|á(m) >
0}, My =
M'-y/M>y.
®
On définit gr(M) =
yEr
My. Quand on veut spécifier la
fonction de valeur, on écrit
grá(M).
L'action de module de D sur M induit
une action My X
Ds -p
My+s
de gr(D) sur gr(M)
donnée par : (m +
M>y).(d
+ D>s) = md +
My+s et qui
définit sur gr(M) une structure de
gr(D)-module gradué à droite . On sait que tout
module gradué sur un anneau à division gradué est un
module libre qui possède une base homogène, et deux bases
quelconques ont le même cardinal, ce qui justifie la terminologie
«espace vectoriel gradué» pour un module gradué sur un
anneau à division gradué. Pour tout m E M , on
écrit m pour l'image m +
M>á(m)
de m dans
Má(m).
On écrit ÔM =
0 dans gr(M) . Il est clair que pour tout m E
M et d E D ,
fmd =
m d.
|
On a pour tout m, n E M
:
m+n=
|
{
|
m si
á(m) <
á(n)
n si
á(m) >
á(n)
m + n si
á(m) =
á(n) et m + n
* 0.
|
(3.5)
|
gr(M) est dit l'espace vectoriel
gradué associé de( á sur)
M. On écrit dimgr(D)(gr(M))
pour le cardinal de toute base de gr(D) - module de
gr(M).
®
Si N = yEr
Ny est un autre
gr(D)-espace vectoriel à droite, on dit que M
et N sont gradués isomorphes et on écrit M
-g N
, s'il existe un isomorphisme de
gr(D)-espaces vectoriels f : M -p N
tel que f (My)
= Ny pour tout y
E r.
On peut construire une fonction de valeur sur M
de la manière suivante : considérons une base
{m1,m2,...,mk}
de M comme D-espace vectoriel, et
y1,y2,...,yk
E r
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
|
arbitraires; définissons ensuite
á : M - U{00} par :
á
|
?
??????
|
k
E
i=1
|
?
??
midi ?? ??
|
= min (yi +
v(di)).
1<i<k
|
On a alors
á(mi) =
yi et,
|
k
á(L
i=1
|
midi) = min
(á(mi) +v(di)) pour
tout
d1,d2,...,dK
E D. (3.6)
1<i<k
|
On peut montrer facilement que á
vérifie les axiomes d'une fonction de valeur sur
M.
Définition 3.4.2. Soit
á une fonction de valeur sur M. Une base
{m1,m2,...,mk}
de M pour laquelle la formule (3.6) est satisfaite, est dite base de
décomposition (splitting base) de á. On
dit que la fonction de valeur á est une norme sur
M(relativement à la valuation v) si M admet une base de
décomposition pour á. á
est dite aussi D-norme ou á-norme.
·
Une v-fonction de valeur
á est dite surmultiplicative sur
A si á(1) = 0 et
á(xy) >_
á(x) +
á(y) pour tout
x, y E A
.
Si maintenant, á est
une fonction de valeur surmultiplicative sur une F-algèbre
A, avec (F,v) un
corps valué, alors
grá(A) est une
algèbre sur gr(F) où la multiplication est
définie pour tout a et b dans A par
:
|
ab
= ab +
A>á(a)+á(b)
=
|
{
|
ab si
á(ab) =
á(a) +
á(b);
(3.7)
0 si
á(ab) >
á(a)
+á(b).
|
51 A.Belkhadir
On peut appliquer suffisemment de
restrictions sur á pour pouvoir relier la
structure de gr(A) à celle de A.
Si K est un corps gradué alors
:
4 Une K-algèbre graduée B
de dimension finie est dite graduée simple si B
ne contient aucun idéal bilatère homogène autre que
B et {0}.
4 On dit que B est graduée
semi-simple si B est un produit direct d'un nombre fini de
K-algèbres graduées simples. Cette définition est
équivalente à : B ne contient aucun idéal
homogène , nilpotent et non nul .
52 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
? Si B est une algèbre (resp.
Algèbre graduée) sur un corps (resp. Corps gradué) K
, on écrit [B : K] pour dimK(B)
.
Dans tout ce qui suit, toutes les algèbres
semi-simples (resp. Graduées semi-simples) sont supposées de
dimensions finies.
Définition 3.4.3. soient
(F,v) un corps
valué, a une fonction de valeur
surmultiplicative sur une F-algèbre A. On dit que a est
une F-jauge ( ou v-jauge) sur A si les deux conditions suivantes sont
satisfaites :
t) a est une F-norme sur A
(i.e., [gr(A) :
gr(F)] = [A : F]) ;
tt) gr(A) est une
gr(F)-algèbre graduée semi-simple.
·
Remarque 3.4.3. -- Si A possède une F-jauge,
alors A devrait être semi-simple. En effet, si
A contient un idéal N non nul tel que
N2 = {0}, alors
gr(N) sera un idéal non nul de gr(A)
tel que gr(N)2 =
{0}.
Définition 3.4.4. On dit qu'une F-jauge
a sur une F-algèbre A semi-simple de dimension
finie est plate si Z(gr(A))
= gr(Z(A)) et Z(gr(A))
est séparable sur gr(F).
·
3.4.2 Jauges spéciales
Soient
(F,v) un corps
valué, A une F-algèbre. Une involution
F-linéaire sur A est une application
F-linéaire a : A -p A
telle que :
- a(x + y) =
a(x) +
a(y) pour x,
y E A ;
- a(xy) =
a(y)a(x)
pour x, y E A
;
- a2(x)
= x pour x E A .
La F-linéarité implique que
a | F = idF.
Une v-fonction de valeur surmultiplicative
çp : A -p U {0} est dite
invariante par a si :
çp(a(x))
= çp(x),
V x E A.
(3.8)
53 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
Si l'équation (3.8) est satisfaite, alors
l'involution ó préserve la filtration
définie par ? dans A , et elle induit sur
gr?(A) une involution
ó telle que:
ó(x) =
ó(x), V x €
A; (3.9)
ó est bien
définie; en effet, soient x et y deux
éléments homogènes de
gr?(A) tels que
On a : ?(x) =
?(y) =
?(ó(x)) =
?(ó(y)), en
outre,
?(x - y) >
?(x) implique
?(ó(x) -
ó(y)) =
?(ó(x - y))
> ?(ó(x)) Par
conséquent:
On déduit directement du fait que
ó est une involution que ó
l'est. u
? On dit que l'involution ó est
non isotrope (ou anisotrope) s'il n'existe aucun élément
non nul x € A tel que
ó(x)x = 0. De même,
ó est dite non isotrope
s'il n'existe aucun élément homogène non nul
î €
gr?(A) tel que
ó(î)î
= 0.
Il est clair que si ó
est non isotrope, alors ó est
non isotrope.
Proposition 3.4.1. Soit ?
une v-fonction de valeur surmultiplicative et
ó une involution F-linéaire sur A. Les
conditions suivantes sont équivalentes:
a) ?(ó(x)x) =
2?(x)
b) ? est invariante par
ó, et ó
est anisotrope.
Ces conditions montrent que si x et y sont deux
éléments de A tels que :
ó(x)y = 0 ou
xó(y) = 0, alors,
?(x+ y) =
min(?(x),?(y));
(3.10)
En plus, si ces conditions équivalentes sont
satisfaites, alors ó est non isotrope et la
gr(F)-algèbre
gr?(A) ne contient aucun
nilidéal à gauche ou à droite, homogène et non nul.
.
Démonstration. -- a) b)
: Si ó(x)x = 0, alors la condition
(a) montre que ?(x) = oo et x = 0, ainsi
ó est non isotrope.
Par surmultiplicativité de ? on a
:
?(ó(x)x) ~
?(ó(x)) +
?(x), pour tout x €
A;
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
d'où (a) implique ?(x)
> ?(ó(x)),
pour tout x E A.
En remplaçant x par
ó(x) dans cette inégalité on
obtient : ?(ó(x)) >
?(x), pour tout x E
A. Parsuite,
?(ó(x)) =
?(x), pour tout x E A, et
? est invariante par ó.
La condition (a) peut être reformulée comme
suit : ?(ó(x)x)
=
?(x)+?(x)
= ?(ó(x))+
?(x) , on a ainsi,
?(ó(x)x) =
?(ó(x))+
?(x) , et par définition de la
multiplication dans gr?(A) on
obtient :
e
ó(x)x =
(ó(x)x) pour tout x E
A
e
Si : 6(x)x = 0 , alors
ó(x)x = 0. i.e :
(ó(x)x) = 0, d'où
ó(x)x = 0, et comme ó
est non isotrope, alors x = 0.
b) a) : Pour tout x E A
on a :
|
eó(x)x
=
|
{
|
e
(ó(x)x) si
?(ó(x)x) =
?(ó(x)) +
?(x), (3.11)
0 si
?(ó(x)x)
> ?(ó(x)) +
?(x).
|
Vérifions que le premier cas de (3.11) a
toujours lieu : En effet,
ó étant non isotrope
d'après la condition (b) de la proposition, on a,
ó(x) = 0 ssi
x = 0 ssi x = 0. Dans ce
e
. Parsuite,
6(x)x =
(ó(x)x)
cas on a aussi : 6(Ô)Ô=
(ó(0)0)e
pour tout x E A
54 A.Belkhadir
Ainsi, : pour tout x E A on a :
?(ó(x)x) =
?(ó(x)) +
?(x) = ?(x)
+ ?(x) =
2?(x) d'après (3.11)
Pour le reste de la preuve, on suppose que les
assertions (a) et (b) sont satisfaites.Il est clair que ó
est non isotrope (car
ó l'est).
D'autre part, ona :
?(ó(x).(x
+ y)) > ?(ó(x)) +
?(x + y); car ? est
surmultiplicative. Or ? est invariante par ó
alors,
?(ó(x).(x
+ y)) > ?(x) +
?(x + y). (3.12)
Si ó(x)y = 0 ,
alors :
?(ó(x).(x
+ y)) =
?(ó(x)x) =
2?(x). (3.13)
En combinant (3.12) et (3.13) on obtient :
?(x) > ?(x+ y). De
même, en échangeant x et y on trouve :
?(y) > ?(x+ y).
D'où
min(?(x),?(y))
> ?(x+ y).
Or ?(x+ y) >
min(?(x),?(y))),
par définition d'une fonction de valeur, alors :
?(x+ y) =
min(?(x),?(y)).
(3.14)
55 A.Belkhadir
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
On a prouvé (3.10) quand
ó(x)y = 0. Si
xó(y) = 0, alors
l'égalité (3.14) sera vérifiée pour
ó(x) et ó(y)
(car
ó(ó(x))ó(y)
= xó(y) = 0).
Remplaçons alors x par ó(x) et
y par ó(y) dans (3.14) et utilisons
l'invariance de ? par ó,alors
:
?(ó(x) +
ó(y)) =
min(?(ó(x)),?(ó(y)));
?(ó(x + y)) =
min(?(x),?(y));
?(x + y) =
min(?(x),?(y)).
Pour compléter la preuve, on suppose que I
c gr?(A) est un
nilidéal à gauche (resp. à droite) homogène, et
î E A est un élément
homogène non nul. Soit ç =
ó(î)î
(resp. ç =
îó(î)).Alors,
ó(ç) =
ó(ó(î)î)
=
ó(î)ó2(î)
=
ó(î)î
= ç. D'où ç
est ó-symétrique.
ç est non nul car ó
est non isotrope d'après l'assertion (b) de la
proposition.
ç est homogène. En effet,
î est un élément homogène non nul,
donc î = x avec x E A
non nul. Or, d'après (b) on a :
?(ó(x)x) =
2?(x) =
?(ó(x))
+ó(x); alors,
ç=
ó(î)î
=
ó(x)x
= ó(x)x
= (ó(x)x)
.
Comme I est un nilidéal, il existe un
entier k >_ 1 tel que çk
0 et çk+1
= 0. Pour æ =
çk,
on a :
ó(æ)æ
=
ó(çk)æ
=
(ó(ç))k.æ
=
ó(ó(î)î)k.æ
=
(ó(î)î)k.æ
=çk.æ
= æ2 =
ç2k
= 0.
Or ó
est non isotrope, alors æ =
0. Contradiction.
Définition 3.4.5. -- Une v-fonction de
valeur surmultiplicative ? sur une algèbre
simple centrale A à involution ó est
dite ó-spéciale si elle vérifie
les assertions (a) et (b) de la proposition (3.4.1).
3.4.3 Jauges sur les produits tensoriels
On rappelle que si P et Q sont deux
espaces vectoriels gradués sur un corps gradué K, alors
la graduation sur P OK Q est donnée par :
|
X
(POK Q)ã
=
ãE
|
Pä OK0
Qã-ä.
|
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
Proposition 3.4.2. soient
(F,v) un corps
valué, M et N deux F-espaces vectoriels. Soient
á une F-norme sur M et j3 une
F-fonction de valeur sur N. Il existe sur M?F N une
unique F-fonction de valeur notée á
?j3 telle que l'application:
|
Q :
grá?j3(M
?F N) ?
grá(M)
?gr(F) grj3(N)
m ] ? n 7? m? n
pour tout m ? M et n ? N, soit un
isomorphisme de gr(F)-espaces vectoriels. Ainsi,
(á?
j3)(m?n) =
á(m) +
j3(n).
Si de plus j3 est une
F-norme, alors á ? j3 est
aussi une F-norme.
|
(3.15)
|
Pour une démonstration on peut consulter [9, Prop.
1.23]. Remarque 3.4.4. :
? L'isomorphisme d'espaces vectoriels
gradués
grá?j3(M?F
N)
grá(M)?gr(F)
grj3(N)
peut être vu comme une identification.
? La fonction de valeur
á? j3 peut
être définie comme suit : soit
(ei)n i=1 une
base de décomposition pour á dans M.
Alors
|
(á?
j3)(
|
Xn i=1
|
ei ? y) = min
(á(ei) +
j3(yi)) , pour
tout y1,
y2,..., yn
? N; 1=i=n
|
56 A.Belkhadir
et (á?
j3)(x? y) =
á(x) +
j3(y) , pour tout
x ? M et y ? N.
(3.16)
En plus, par analogie à [9, cor 1.26], si
(w,j3) est un corps valué extension
de (F,v) alors
á ? j3 est une
j3-norme sur M ?F W et,
grá?j3(M
?F W)
grá(M)
?gr(F) grj3(W)
est un grj3(W)-isomorphisme
d'espaces vectoriels.
Proposition 3.4.3. [10] -- Soient
ó et T deux involutions
F-linéaires sur les F-algèbres A et B respectivement. Soit
á (resp. j3) une fonction de valeur
surmultiplicative sur A (resp. B) invariante par ó
(resp. T ). On suppose que A est de dimension finie et
que á est une v-norme. Alors á
? j3 est une fonction de valeur
surmultiplicative sur A ?F B,
invariante
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
par l'involution ó ?
ô, et l'isomorphisme canonique Ù de
(3.15) est un gr(F)-isomorphisme d'algèbres
graduées à involutions :
|
?
~ ~ ??O
grá?â(A?F
B), ó] ? ô =
?????grá(A)
gr(F)
|
grâ(B),
6?z
|
.
|
Démonstration. -- Soient
(ei)ni=1 une base de décomposition de A
pour á. Pour x, y ?
A?gr(F)B on peut écrire x =
Eni=1 ei?xi et y =
Enj=1 ej? yj pour
x1,x2,...,xn,
y1, y2,...,
yn ? B. Alors :
· á ? â est
surmultiplicative ; en effet :
(á
?â)(x ? y) =
(á
?â)
|
((n
i=1
|
ei ?xi)
|
E .
n ???? ? j=1
|
ej ? yj
|
11
|
|
57 A.Belkhadir
= (á
?â)
??
???
?X ?
???? eiej ?xiyj
?? ???
i,j
|
|
1min
((á ?â)(eiej
?xiyj)) = 1min
(á(eiej)+â(xiyj)).
(définition de fonction de valeur)
Comme á et â
sont surmultiplicatives, alors á(eiej)
= á(ei) +
á(ej) et
â(xiyj) = â(xi)
+ â(yj). Parsuite,
(á ?
â)(x ? y) = min
(á(ei) +
á(ej) + â(xi)
+ â(yj))
4j
= m
in(á(ei)
+ â(xi)) + min
(á(ej) +
â(yj))
= (á?
â)(x)+(á?
â)(y)
En outre, on a
(á?â)(1?1) =
á(1)+â(1) = 0.
· Soit
Ù :
grá?â(M ?F
N) ? grá(M)
?gr(F)
grâ(N)
m]?n 7?
m? n
l'isomorphisme d'espaces vectoriels gradués qui
détermine á ? â. Pour
monter que Ù est un isomorphisme d'anneaux, on le cherche pour
Ù-1. Considérons les homo-morphismes canoniques de
F-algèbres
iA : A -? A?F B iB :
B -? A?F B
a 7-? a?1 b 7-?
1?b
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
On a :
(á?â)(a?1) =
á(a)+â(1)
= á(a) et
(á?â)(1?b) =
á(1)+â(b)
pour tout a ? A et b ? B. autrement dit
iA et iB préservent les valeurs. Donc ils induisent
des homomorphismes de gr(F)-algèbres graduées
:
iA :
grá(A) -?
grá?â(A?F
B) iB :
grâ(B) -?
grá?â(A?F
B)
iA(a) =
iA(a)
|
iB(
|
b)
=
|
giB(b).
|
|
D'après (3.16) on a, pour tout a ?
A et b ? B,
(á ?
â)((a ? 1).(1 ?b))
= (á ? â)(a
?b) = á(a) +
â(b)
= (á ?
â)(a ?1) + (á
?â)(1? b).
D'où,
e e
a?1. 1?b =
[(a?1).(1?b)] = a?b =
[(1?b).(a?1)] =
1?b. a ?1.
Ainsi,
|
iA(a).
|
iB(
|
b)
=
|
iB(
|
b).iA(a)
pour tout a ? A et b ? B. Il existe alors
un homo-
|
|
58 A.Belkhadir
morphisme de gr(F)-algèbres
induit :
grá(A)
?gr(F) grâ(B) -?
grá?â(A ?F
B) ea ?eb 7-? a?1.
1?b = a?b.
Cet homomorphisme d'algèbres est exactement
Q-1. D'où Q est un isomorphisme de
gr(F)-algèbres.
· Pour montrer que á
?â est invariante par ó
? ô on vérifie d'abord que
(ó(ei))ni=1
est aussi une base de décomposition de A pour
á. Soient
c1,c2,...,cn
? F , comme á est invariante par
ó et les ci sont centrals dans A
fixés par ó
(ó|F = idF), alors :
= á
|
?
??????
|
ó
|
In
i=1
|
il)
|
= á
|
?
??????
|
Xn i=1
|
(ei))
|
|
?
??
ó(ei)ei ?? ??
= á
|
In
i=1
|
?
??
ciei ?? ??
|
= á
|
In
i=1
|
?
??
eici ?? ??
|
|
= min (á(ei)
+ v(ci)) 1=i=n
= min
(á(ó(ei)) +
v(ci)). 1=i=n
3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À
INVOLUTION
D'où
(ó(ei))ni=1
est une base de décomposition pour
á. Parsuite,
(á®â)((ó®ô)(x))
=(á®â)((ó
® ô)(óei
®xi))
=
(á®â)
|
n
?X??? ?
i=1
|
?
??
ó(ei) ®
ô(xi) ?? ??
|
|
= min
{á(ó(ei)) +
â(ô(xi))}
d'après (3.16)
1<i<n
= min {á(ei)
+â(xi)} , á et
â sont invariantes par ó et
ô (resp)
1<i<n
=
(á®â)(x).
D'où á ®
â est invariante par ó ®
ô , ce qui induit une involution
ó]®ô
sur
grá®â(A
® B).
· Il reste à montrer que Ù est un
isomorphisme d'algèbres à involutions .i.e.
Ùo(ó®ô)
= (6®z)oÙ.
Pour tout a E A et b E B
on a :
] e
(ó®
ô) (a ® b)
=[(ó®ô)(a®b)]
= ó(a)
®ô(b)
D'où,
~
Ù ~(ó ]
®ô)(a ® ] b) =
Ù ~ó(a) ® ]
ô(b) ==
gó(a)
®gô(b)
|
=eó(ea)®eô(
|
b)
=eó®eô(_a®eb)
|
~ ~
= eó
®eô Ù( ag
®b) .
grâ(B),
-5-®E ?????
, est un isomorphisme
Finalement, Ù o (ó
®]ô) = (6
®'z) o Ù. ?
~ ~ ??O
| 
