Introduction aux valuations

2.5 Complété d'un corps pour une valuation

2.5.1 Corps normés

Définition 2.5.1. Soit K un corps. Une norme sur K est une application x 7? |x| de K dans R₊ vérifiant les trois propriétés suivantes:

(i) |x| = 0 ? x = 0 ;

(ii) |xy| = |x||y|;

(iii) |x+ y| = |x|+|y|.

Une norme sur K est dite non-archimédienne ou ultramétrique si l'on peut remplacer la troisième condition par la condition plus forte

(iii') |x + y| = max(|x|,|y|).
·.

Proposition 2.5.1. -- Si | | est une norme sur un corps K , alors les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) | | est ultramétrique;

(ii) | | est bornée sur l'image de Z dans K ;

(iii) |x| = 1 quel que soit x ? Z .
·

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- On a (i) - (iii) - (ii) de manière évidente; il suffit donc de prouver que (ii) - (i) . Si on suppose que |m| < M quel que soit m E Z et si x, y E K et n E N, alors

|x+ y|^n= |(x+ y)^n| =

~~~~~~~

Xn i=0

C^inx^iy^n^-i

~~~~~~~

< (n+ 1)Msup(|x|,|y|^n.

27 A.Belkhadir

On en déduit le résultat en prenant la racine n^ime des deux membres et en passant à

la limite.

Corollaire 2.5.1. -- Si K est un corps de caractéristique p , alors toute norme sur K est ultramétrique.
·

Si K est un corps muni d'une norme | |, et x, y E K , on pose d(x, y) = |x - y| , les propriétés (i) et (iii) des normes assurent que d est une distance sur K et donc définit une topologie sur K .

Lemme 2.5.1. -- Si I I est ultramétrique et |x| |y| , alors |x + y| = sup(|x|,|y| .
·

Démonstration. -- Quitte à permuter x et y , on peut supposer |x| > |y| . On alors

|x+ y| < |x| = |(x + y) - y| < sup(|x + y|,|y|

de la deuxième inégalité on déduit que sup(|x + y|,|y| = |x + y| (sinon on aurait |y| >-

|x|), d'où |x + y| = |x| = sup(|x|,|y| .

EXEMPLES -- (i) On peut munir n'importe quel corps K de la norme triviale définie par |x| = 1 si x 0 . La topologie associée est alors la topologie discrète sur K .

(ii) Norme induite.-- Si K est un sous-corps d'un corps normé L, on peut munir K de la norme obtenue par restricion de celle sur L .

(iii) Normes sur Q . -- Comme Q est un sous-corps de C, on peut le munir de la norme | |oo usuelle. Par ailleurs, si p est un nombre premier, on peut munir Q de la norme p-adique | |_p définie par Ip = pvp(b)-vp(a) , où, si n E Z {0} , v_p(n) est le plus grand entier v tel que p^v divise n (autrement dit, c'est l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers). La norme | |_p est clairement multiplicative et

28 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

vérifie l'inégalité ultramétrique car |z| < 1 pour tout z E Z et la condition (iii) de la proposition 2.5.1 permet de conclure.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de l'unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.

Théorème 2.5.1(Formule du produit). -- Si x E Q^* alors

Y|x|_oe. |x|_p = 1.

p premier

Si K est un corps normé, on note ^K l'ensemble des suites de Cauchy à valeurs dans K . Soit I c ^K l'ensemble des suites convergentes vers 0.

Lemme 2.5.2. -- (i) Si _(an)nEN E K, alors la suite de terme général |a_n| converge dans R₊.

(ii) Si on suppose de plus que | | est ultramétrique et que a I , alors la suite de terme général |a_n| est constante à partir d'un certain rang.

(iii) Si a = (an)nEN et b = (bn)nEN sont deux éléments de ^K différant par un élément de I ,

alors lim n?+oe

|an| = lim n?+oe

|bn|.

Démonstration. -- L'inégalité triangulaire implique que l'on a ||an+1|-|an|| < |an+p -a_n| quels que soient n et p, et donc que la suite de terme général |a_n| est de Cauchy. On en déduit le (i).

D'autre part, si a = (an)nEN E K I, il existe b > 0 tel que ait |a_n| >_ b pour une infinité de n et la limite de la suite |a_n| est donc supérieure où égale à b . Il existe donc N E N tel que si n >_ N , alors |a_n| > ²₃b et |an+1-an| < 2b quel que soit p EN . Ceci implique |an+1 - a_n| < |a_n| et donc, comme | | est supposé ultramétrique, |an+p| = |a_n| quel que soit p E N ; d'où le (ii).

On a ||a_n|-|b_n|| < |a_n -b_n| et l'hypothèse implique que cette dernière suite tend vers

0, d'où le (iii).

Lemme 2.5.3. -- K est un anneau et I est un idéal maximal de ^K .
·

29 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- Le fait que K est un anneau et I un idéal est immédiat. L'élément unité de Kest la suite constante 1 dont tous les termes sont égaux à 1. Si a = (an)n?N ? K rI, d'après ce qui précède, il existe ô > 0 et N ? N tels que l'on ait |a_n| = ô si n = N . La suite a = (an)n?N définie par b_n = 0 si n < N et b_n = a-1 n si n = N est de Cauchy et ab-1 est un élément de I, ce qui montre que a est inversible dans K/I et permet de

conclure au fait que I est maximal. ~

Il résulte du lemme précédent queKà = K/I est un corps.

Nous allons identifier tout a ? K avec la classe de la suite {a,a,a,...} ? Kà et écrire K ? Kàainsi que a au lieu de {a,a,a,...}. De plus on étend la norme | | à Kàen écrivant

|a| = lim n?8

|an|. Cette limite existe et unique d'après le lemme 2.5.2.

Proposition 2.5.2. -- || est une norme sur ^Kà , et ^Kà est complet pour cette norme et contient K comme sous-corps dense.

Démonstration. -- La multiplicativité de la norme et l'inégalité triangulaire (resp. ultramétrique) passent à la limite. D'autre part, |a| = 0 ? lim

|a_n| = 0 ? a ? I,

n?8

donc | | est une norme sur ^Kà qui est ultramétrique si | | l'est sur K .

Maintenant, si a = (an)n?N ? Kà, alors |a - a_n| = sup |an+p - a_n| tend vers 0 quand n

p=1

tend vers +8 puisqe la suite a = (an)n?N est de Cauchy. On a donc a = lim n?+8

an dans

K àet donc que K est dense dans Kà.

Finalement, si a = (an)n?N est une suite de Cauchy dans ^Kà , comme K est dense dans Kà, on peut trouver pour chaque n un élément b_n de K tel que l'on ait |a_n - b_n| = 2-ⁿ et la suite b_n est de Cauchy dans K donc converge dans ^Kà vers une limite qui est aussi

celle de la suite (an)n?N ; ce qui prouve que ^Kà est complet. ci

Définition 2.5.2. -- Le corps ^Kà (muni de la norme | |) s'appelle le complété de K pour la norme | |.

Proposition 2.5.3. -- Soit K un corps normé complet et V un espace vectoriel de dimension finie sur K , alors toute les normes sur V (compatibles avec la norme sur K , i.e. Vérifiant ||Ax|| = |A|.||x|| si A ? K et x ? V) sont équivalentes et V est complet pour n'importe laquelle d'entrre elles.

30 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- Il suffit de prouver qu'elles sont toutes équivalentes à la norme du sup., ce qui se fait par récurrence sur la dimension de V . Si cette dimension est 1, il n'y a rien à faire. Sinon, soit (e1,e2,...,e_n) une base de V ; on a :

||x1e1 _+x2e2 +...+x_ne_n|| = (||e1||+...+||e_n||)sup(|x1|,...,|x_n|),

d'où l'une des deux inégalités à vérifier. Pour démontrer l'autre, raisonons par l'absurde, supposons qu'il existe une suite ||x(k) ₁ e1||+...+||x(k)

n e_n|| qui tende vers 0 pour

la norme || || mais pas pour la norme du sup. Il existe alors C > 0, i ? {1,2,..,n} et une sous-suite infinie telle que l'on ait |x^(k)

i | = C et donc la suite de terme général

vk =

_x(k)

nx(k) e_n tende vers 0 pour || ||. On en déduit le fait que ei est dans

i

_x(k)

1

x(k) e1 + ... +

i

l'adhérence de W = Vect(e1,...,ei-1,ei+1,...,en) qui est complet d'après l'hypothèse de récurrence, ce qui implique ei ? W et est absurde puisque les ei forment une base de

V .

2.5.2 Normes ultramétriques et valuations

Si K est un corps muni d'une norme ultramétrique | | et si A < 0, alors v : K ? IR+ ? {+8} définie par v(x) = Alog|x| est une valuation sur K .

Réciproquement, si v est une valuation sur K et 0 < a < 1 , alors |x| = av(x) est une norme ultramétrique sur K .

Il est équivalent de raisonner en termes de norme ultramétrique ou en termes de valuation, et on définit de manière évidente le complété K d'un corps K muni d'une valuation v . Il faut toutefois faire attention au fait que les inégalités se trouvent renversées. Les formules étant en général nettement plus agréables en termes de valuations que de normes. Par exemple, pour toute suite { _n} = { 0, 1,..., _n,...} d'élé-ments de K on a :

lim n?+8

n= ? lim n?+8

v( n - ) = +8.

Remarque 2.5.1. -- (i) -- si K est un corps muni d'une valuation v, il résulte de (ii) du lemme 2.5.2 que v( K*) = v(K^*) .

31 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

(ii) -- Une suite d'éléments de K est de Cauchy si et seulement si lim n?+8			v(un+1 -un) = +8.	Donc si K est complet, une suite converge si et seulement si lim n?+8
v(un+1 - un) = +8. De

même, une série converge si et seulement si la valuation de son terme général tend vers +8.

(iii) -- Si | |_v est la norme ultramétrique associée à la valuation v, alors:

1. R_v = {x ? K | v(x) = 0} = {x ? K, |x|_v = 1} est l'anneau de valuation de K pour v , on l'appelle aussi l'anneau des entiers de K pour la valuation v ;

2. M_v = {x ? K | v(x) > 0} = {x ? K, |x|_v < 1} est l'idéal maximal de K pour la valuation v.

EXEMPLE -- Soit Q_p le complété de Q pour la valuation p-adique v_p . On note Z_p l'anneau de ses entiers. Son idéal maximal M_v est pZ_p , en effet, d'après (i) de la remarque 2.5.1 on a : v(Q^*_p) = v(Q^*) = Z, et donc, si v_p(x) > 0 , alors v_p(x) = 1 , d'où M_v ? pZ_p . L'inclusion réciproque est évidente.

Lemme 2.5.4. -- Pour tout n ? N on a :

Z/pⁿZ Z_p/pⁿZ_p .

Démonstration. -- Soit p : Z ? Z_p/pⁿZ_p l'application qui à x fait correspondre p(x) = x + pⁿZ_p . On a pⁿZ ? pⁿZ_p d'où pⁿZ ? kerp. Si, maintenant x ? kerp , alors x ? ZnpⁿZ_p , d'où v_p(x) = n, ce qui signifie que x est divisible par pⁿ dans Z. i.e.x ? pⁿZ. Ainsi on a : kerp = pⁿZ. Prouvons la surjectivité de p . Soit x ? Z_p/pⁿZ_p et x ? Z_p ayant pour image x modulo p. Comme Q est dense dans Q_p , il existe r ? Q vérifiant

( )

v_p(x - r) = n , donc x-r = pⁿy avec v_p(y) = 0 , et v_p(r) = v_p(x-pⁿy) = inf v_p(x),v_p(pⁿy) ;

en particulier v_p(r) = 0. Écrivons r sous la forme a b , avec a,b ? Z. Comme v_p(r) = 0, on a v_p(b) = v_p(a) et quitte à tout diviser par v_p(b), on peut supposer pgcd(b,p) = 1. Soit c l'inverse de b dans Z/pⁿZ et c ? Z dont la réduction modulo pⁿ est c. On a alors v_p(r-ac) = v_p(a)+v_p(1-bc) = n et donc v_p(x - ac) = v_p((x-r)+(r-ac)) =

( )

inf v_p(x - r),v_p(r - ac)= n, ce qui prouve que ac a pour image x dans Z_p/pⁿZ_p , d'où la surjectivité de p . Le premier théorème d'isomorphisme permet enfin de conclure

que Z/pⁿZ Z_p/pⁿZ_p. ci

Corollaire 2.5.2. -- Le corps résiduel de Q_p est F_p = Z/pZ . .

32 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

2.5.3 Extensions de corps valués complets

Soit L/K une extension séparable finie de degré n et ó1,...,ó_n les K-isomorphismes distincts de L dans une clôture algébrique Q de K . On rappelle que la norme de x ? L relativement à K est définie par

n

NL/K(x) = n ói(x) ? K.

i=1

Si de plus f(X) = X^m + a1X^m-¹ + ... + _am-1X + a_m est le polyn àme minimal de x sur K , alors :

NL/K(x) = ((-1)^ma_m)^n/m , m = [K(x) : K].

1 ~ ~

w(x) = [L : K]v NL/K(x) .

Théorème 2.5.2. -- Soit K un corps complet pour une valuation v, et soit L une extension finie de K . Alors, il existe une unique manière de prolonger v en une valuation w de L . De plus, si x ? L, alors

Démonstration. -- On peut voir L comme un espace vectoriel de dimension finie [L : K] . Si _v1,v2 sont deux valuations sur L prolongeant v , alors v1 et v2 définissent la même topologie sur L d'après la proposition 2.5.3, cette proposition montre alors qu'il existe s ? R^*₊ tel que l'on ait v2(x) = s.v1(x) quel que soit x ? L , et comme v2(x) = v1(x) si x ? K , alors s = 1, d'où l'unicité d'une extension de v à L .

Il reste à monter que w définit bien une valuation sur L, il suffit de montrer que w(x+ y) = inf((w(x),w(y)) . Les autres conditions sont immédiates. Montrons d'abord que, si x ? L vérifie v(NL/K(x)) = 0 , alors _v(NL/K(1 + x)) = 0 .

Soit f(X) = X^d + ... + a0 , le polynôme minimal de x sur K . Ceci implique que d divise [L :K] et NL/K(x) = ((-1)^da0)^[L:K]

d et donc v(NL/K(x)) = 0 implique a0 ? OK et l'irréductibilité de f implique que ses coéfficients sont dans OK d'après la proposition ?? . D'autre part, le polynôme minimal de 1 + x est f(X - 1) et donc _NL/K(1 + x) = ((-1)^df(-1))^[L:K]

d ? OK , ce qui permet de conclure.

Maintenant, si x = 0 ou y = 0, rien à démontrer. Si x et y sont non nuls tous les deux, quitte à remplacer x par y, on peut supposer que w(x) = w(y) . On a :

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

x ! ! NL/K(1 + x w = w(x) - w(y) ~ 0 , ce qui est équivalent à v NL/K(^x~ 0 v y) y y

!)~

1 + x !

0 ? w = 0 .

y 1 + x ! + w(y) , alors, w(x + y) ~ w(y) = inf(w(x),w(y)) .

Or, w(x + y) = w ci

y

Corollaire 2.5.3. -- Si K est une clôture algébrique de K , il existe une unique manière de prolonger v à K ; de plus Aut(K/K) agit sur K par des isométries.
·

Démonstration. -- L'unicité du prolongement est une conséquence directe du théorème précédent. Le reste de l'énoncé suit de ce que, si x € K , et si a € Aut(K/K), alors

NK/K(x) = NK(a(x))/K (a(x)).

Corollaire 2.5.4. -- Si P € K[X] est irréductible, alors toutes ses racines dans K ont la même valuation.
·

Démonstration. -- les racines d'un polynôme irréductible sont permutées transitive-

ment par Aut(K/K) , et le corollaire précédent permet de conclure. ci

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