Introduction aux valuations

2.2 Valuation

Dans la suite r est un groupe commutatif totalement ordonné, en particulier r est un groupe sans torsion. Nous notons r⁺ le sous-ensemble des éléments "positifs" et nous avons :

r = r⁺ ?r-, r⁺ nr^- = {0} et á = â ? á-â ? r⁺.

Nous adjoignons au groupe r un élément +8 et nous appelons r₈ l'ensemble ainsi obtenu : r₈ = r ? {+8}. Nous munissons cet ensemble d'une relation d'ordre total en posant pour tout á dans r, á < +8 et nous posons aussi :

pour tout á ? r, (+8)+á = (+8) + (+8) = +8.

Définition 2.2.1. -- Soient A un anneau, nous appelons valuation de A à valeurs dans r une application v : A ? r₈ vérifiant les conditions suivantes :

1. v(x.y) = v(x) + v(y) pour tout x, y ? A;

2. v(x + y) = inf(v(x),v(y)) ;

3. v(1) = 0 et v(0) = +8 .
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Remarque 2.2.1. Si nous supposons que l'application v vérifie les conditions 1) et 2) et ne prend pas uniquement la valeur +8, alors nous avons obligatoirement v(1) = 0 . Plus généralement pour tout élément z de A vérifiant zⁿ = 1 avec n ? N^* , nous avons encore v(z) = 0 car le groupe r est sans torsion, en particulier v(-1) = 0 .

Définition 2.2.2. -- La valuation v de A vérifiant v(x) = 0 pour tout x appartenant à A* est appelée valuation impropre où triviale de A .
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2.2. VALUATION

Proposition 2.2.1. -- Soient v une valuation d'un anneau A , pour toute famille finie (x1,x2,...,x_n) d'éléments de A nous avons l'inégalité :

v(

n

E

i=1

xi) = inf (v(xi)). 1=i=n

De plus s'il existe un indice k tel que pour tout i * k nous ayons l'inégalté stricte v(xi) > v(xk) , alors nous avons l'égalité :

n v(E i=1

xi) = inf (v(xi)) = v(xk). · 1=i=n

Démonstration. -- la première partie se démontre par récurrence sur n en utilisant l'axiome 2) de la définition d'une valuation. Pour la deuxième partie nous pouvons nous ramener grâce à ce qui précède au cas n = 2 . Si x et y sont deux éléments de A avec v(x) < v(y) , nous déduisons de la définition les deux inégalités v(x + y) = v(x) et v(x) = inf(v(x + y),v(-y)), et comme nous avons v(-y) = v(y) > v(x) nous trouvons

l'égalité cherchée.

Remarque 2.2.2. Si v est une valuation de A à valeurs dans t et si f : B ? A est un morphisme d'anneaux. L'application composé v ? f : B ? t₈ définit une valuation de B à valeurs dans t .

Remarque 2.2.3. Pour toute valuation v d'un anneau A à valeurs dans t , l'image réciproque v-¹(+8) est un idéal premier P de A . L'application v : A/P ? t₈ déduite de v par passage au quotient définit une valuation de l'anneau intègre A/P telle que l'image réciproque de +8 est réduite à 0.

Proposition 2.2.2. -- Soient A un anneau intègre de corps des fractions K et v une valuation de A à valeurs dans t telle que pour tout x * 0 nous ayons v(x) * +8 . Alors il existe une valuation u de K et une seule qui prolonge v. De plus u(K^*) est le sous-groupe de t engendé par v(A^*) .
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2.2. VALUATION

Démonstration. -- Pour tout x dans K^* il existe y et z appartenant à A^* tels que x = y/z, il suffit alors de poser ii(x) = v(y) - v(z). Nous vérifions immédiatement que ii(x) ne dépend pas des éléments y et z choisi et que l'application ii ainsi définie est une valuation de K qui prolonge v , et quelle est unique. Par construction il est clair que

ii(K^*) est le sous-groupe de F engendré par le semi-groupe v(A^*). ~

La proposition suivante montre la relation qui existe entre les valuations d'un corps K et les anneaux de valuations de ce corps.

Proposition 2.2.3. -- Soit v une valuation d'un corps K à valeurs dans un groupe F. Alors l'ensemble A des éléments x véri~ant v(x) = 0 est un anneau de valuation de K , dont l'idéal maximal max(A) est l'ensemble des x véri~ant v(x) > 0.

Réciproquement, si V est un anneau de valuation de K nous pouvons lui associer une valuation v de K à valeurs dans un groupe F_v telle que l'anneau V soit l'image réciproque v-1(F+ _v ). u

Démonstration. -- Nous déduisons des axiomes d'une valuation que l'ensemble des éléments x de K vérifiant l'inégalité v(x) = 0 est un sous-anneau de K et nous déduisons de la condition b) du théorème 2.1.1 que c'est un anneau de valuation de K . De plus, comme A est local, un élément x de K vérifie v(x) = 0 si et seulement si x et x-1 appartiennent à A , c'est à dire si et seulement si x appartient à A . max(A).

Pour la réciproque, plus généralement nous considérons un anneau intègre C de corps de fractions K ; l'ensemble U(C) des éléments inversibles de C est un sous-groupe du groupe multiplicatif K^* et nous notons FC le groupe quotient. La relation de divisibilité x/y ? y ? (x)C , définit une structure de groupe ordonné sur FC . Plus précisément, si nous notons respectivement x et y les classes des éléments x et y de K* dans le groupe quotient FC = K^*/U(C), alors la relation est définie par x = y ? ?z ? C tel que y = zx ? yx-¹ ? C . «=» est bien définie sur l'espace quotient K^*/U(C), en effet, x = y ne dépend pas des représentants x et y choisis. «=» est une relation d'ordre sur FC , compatible avec la structure de groupe. Le groupe FC est totalement ordonné; en effet, supposons que xy-¹ C , nous déduisons de l'axiome b) du théorème 2.1.1 que yx-¹ ? C car C est un anneau de valuation. L'application canonique

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2.2. VALUATION

v : K^* ? FC = K^*/U(C) est alors une valuation de K telle que l'anneau C est égal à

l'anneau de valuation associé {x ? K/v(x) = 0}. ~

Définition 2.2.3. -- L'anneau de valuation V de K associé à la valuation v est appelé l'anneau de la valuation v et le corps k(V) = V/max(V) est appelé le corps résiduel de la valuation. Le sous-groupe v(K^*) est appelé groupe des ordres ou groupe des valeurs de v . Il est isomorphe au groupe quotient F_v = K^*/U(V), où U(V) est le sous-groupe de K^* constitué des éléments inversibles de V .
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Places.

Le vocabulaire des places est un autre point de vue sur les corps valués. Une place P d'un corps K vers k est une application P : K ? k ? {8}, qui vérifie les propriétés suivantes:

- P(x+ y) = P(x)+P(y) ;

- P(xy) = P(x)P(y), pour P(x),P(y) ~ 8 ; - Pour x ~ 0 , P(x) = 8 ? P(x-¹) = 0.

Alors P-¹(k) est un anneau de valuation de K , d'idéal maximal P-¹({0}) et de corps résiduel k.

Inversement, étant donné un corps valué, l'application quotient de son anneau de valuation V vers V/max(V) est une place ( on pose P(x) = 8 pour x V).

Pour toute valuation v d'un corps K , nous noterons O_v son anneau de valuation, k_v son corps résiduel et F_v son groupe des ordres.

Définition 2.2.4. -- Nous disons que deux valuations v et v^' de K sont équivalentes si elles ont même anneau.
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Proposition 2.2.4. -- Deux valuations vet v^' d'un corps K sont équivalentes si et seulement si il existe un isomorphisme de groupes ordonnés A de v(K^*) dans v^'(K^*) tel que v^' = A ? v .

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2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION

Démonstration. -- En effet il suffit de remarquer que par définition la valuation détermine l'anneau V et réciproquement l'anneau V de la valuation détermine le groupe des ordres : t = K^*/U(V) , ainsi que le sous-ensemble des éléments «positifs» :

t+ = V^*/U(V).

EXEMPLE : Les valuations sur Q. -- Soient v une valuation sur Q . Alors O_v contient Z, et M_v n Z est un idéal premier de Z, donc nul où de la forme pZ pour un nombre premier p .

Si M_v n Z = {0} , cela veut dire que tout les éléments de Z sont inversibles dans O_v , et donc que O_v = Q, i.e.la valuation v est triviale sur Q .

Supposons maintenant que M_v n Z = pZ . Cela entraine que si a est un entier, alors v(a) égale l'exposant de la plus grande puissance de p divisant a . Cela nous donne que si a E Q s'écrit pⁿr où n E Z, et r est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers à p, nous avons v(a) = n . Le groupe de valeurs de v est donc isomorphe à Z, son corps résiduel à F_p . La valuation v est la valuation p-adique sur Q .