2.2 Valuation
Dans la suite r est un groupe commutatif totalement
ordonné, en particulier r est un groupe sans torsion. Nous notons
r+ le sous-ensemble des éléments "positifs" et nous
avons :
r = r+ ?r-, r+
nr- = {0} et á =
â ?
á-â ?
r+.
Nous adjoignons au groupe r un élément
+8 et nous appelons r8 l'ensemble ainsi obtenu : r8 = r ?
{+8}. Nous munissons cet ensemble d'une relation d'ordre total en posant pour
tout á dans r, á <
+8 et nous posons aussi :
pour tout á ?
r, (+8)+á = (+8) +
(+8) = +8.
Définition 2.2.1. -- Soient A un anneau,
nous appelons valuation de A à valeurs dans r une application v
: A ? r8 vérifiant les conditions suivantes
:
1.
v(x.y) =
v(x) + v(y) pour tout
x, y ? A;
2. v(x + y) =
inf(v(x),v(y))
;
3. v(1) = 0 et v(0) = +8 .
·
Remarque 2.2.1. Si nous supposons que
l'application v vérifie les conditions 1) et 2) et ne prend pas
uniquement la valeur +8, alors nous avons obligatoirement v(1) =
0 . Plus généralement pour tout élément z de A
vérifiant zn = 1 avec n ? N* ,
nous avons encore v(z) = 0 car le groupe r est sans
torsion, en particulier v(-1) = 0 .
Définition 2.2.2. -- La valuation v de A
vérifiant v(x) = 0 pour tout x appartenant à
A* est appelée valuation impropre où triviale
de A .
·
17 A.Belkhadir
2.2. VALUATION
Proposition 2.2.1. -- Soient v une valuation d'un
anneau A , pour toute famille finie
(x1,x2,...,xn)
d'éléments de A nous avons l'inégalité
:
v(
n
E
i=1
xi) = inf
(v(xi)).
1=i=n
De plus s'il existe un indice k tel que pour tout
i * k nous ayons l'inégalté stricte
v(xi) >
v(xk) , alors nous avons
l'égalité :
|
n
v(E
i=1
|
xi) = inf (v(xi)) =
v(xk).
·
1=i=n
|
Démonstration. -- la première
partie se démontre par récurrence sur n en utilisant
l'axiome 2) de la définition d'une valuation. Pour la deuxième
partie nous pouvons nous ramener grâce à ce qui
précède au cas n = 2 . Si x et y sont
deux éléments de A avec v(x)
< v(y) , nous
déduisons de la définition les deux inégalités
v(x + y) = v(x) et
v(x) = inf(v(x +
y),v(-y)), et
comme nous avons v(-y) = v(y)
> v(x) nous
trouvons
l'égalité cherchée.
Remarque 2.2.2. Si v est une valuation de A
à valeurs dans t et si f : B ? A est un
morphisme d'anneaux. L'application composé v ? f : B
? t8 définit une valuation de B à valeurs
dans t .
Remarque 2.2.3. Pour toute valuation v d'un anneau
A à valeurs dans t , l'image réciproque
v-1(+8) est un idéal premier P de A .
L'application v : A/P ? t8
déduite de v par passage au quotient définit une
valuation de l'anneau intègre A/P
telle que l'image réciproque de +8 est réduite
à 0.
Proposition 2.2.2. -- Soient A un anneau
intègre de corps des fractions K et v une valuation de A à
valeurs dans t telle que pour tout x *
0 nous ayons v(x) * +8
. Alors il existe une valuation u de K et une
seule qui prolonge v. De plus u(K*)
est le sous-groupe de t engendé par
v(A*) .
·
18 A.Belkhadir
2.2. VALUATION
Démonstration. -- Pour tout x
dans K* il existe y et z appartenant
à A* tels que x =
y/z, il suffit alors de
poser ii(x) = v(y) -
v(z). Nous vérifions immédiatement que
ii(x) ne dépend pas des
éléments y et z choisi et que l'application
ii ainsi définie est une valuation de K
qui prolonge v , et quelle est unique. Par construction il est
clair que
ii(K*) est le sous-groupe
de F engendré par le semi-groupe v(A*).
~
La proposition suivante montre la relation qui existe
entre les valuations d'un corps K et les anneaux de valuations de ce
corps.
Proposition 2.2.3. -- Soit v une valuation d'un
corps K à valeurs dans un groupe F. Alors l'ensemble A des
éléments x véri~ant v(x) = 0 est un
anneau de valuation de K , dont l'idéal maximal max(A)
est l'ensemble des x véri~ant v(x) >
0.
Réciproquement, si V est un anneau de
valuation de K nous pouvons lui associer une valuation v de K à valeurs
dans un groupe Fv telle que l'anneau V soit
l'image réciproque v-1(F+ v ).
u
Démonstration. -- Nous
déduisons des axiomes d'une valuation que l'ensemble des
éléments x de K vérifiant
l'inégalité v(x) = 0 est un sous-anneau de
K et nous déduisons de la condition b) du
théorème 2.1.1 que c'est un anneau de valuation de K .
De plus, comme A est local, un élément x de
K vérifie v(x) = 0 si et seulement si x
et x-1 appartiennent à A , c'est à dire si
et seulement si x appartient à A .
max(A).
Pour la réciproque, plus
généralement nous considérons un anneau intègre C
de corps de fractions K ; l'ensemble U(C) des
éléments inversibles de C est un sous-groupe du groupe
multiplicatif K* et nous notons FC le groupe quotient. La
relation de divisibilité x/y
? y ? (x)C , définit une
structure de groupe ordonné sur FC . Plus précisément, si
nous notons respectivement x et y les classes des
éléments x et y de K* dans le groupe
quotient FC =
K*/U(C), alors
la relation est définie par x = y ? ?z ? C
tel que y = zx ? yx-1 ? C . «=»
est bien définie sur l'espace quotient
K*/U(C), en
effet, x = y ne dépend pas des représentants
x et y choisis. «=» est une relation d'ordre sur FC
, compatible avec la structure de groupe. Le groupe FC est totalement
ordonné; en effet, supposons que xy-1 C , nous
déduisons de l'axiome b) du théorème 2.1.1 que
yx-1 ? C car C est un anneau de valuation. L'application
canonique
19 A.Belkhadir
2.2. VALUATION
v : K* ? FC =
K*/U(C) est
alors une valuation de K telle que l'anneau C est égal
à
l'anneau de valuation associé {x ?
K/v(x) = 0}.
~
Définition 2.2.3. -- L'anneau de valuation
V de K associé à la valuation v est appelé l'anneau de la
valuation v et le corps k(V) =
V/max(V) est
appelé le corps résiduel de la valuation. Le sous-groupe
v(K*) est appelé groupe des ordres ou
groupe des valeurs de v . Il est isomorphe au groupe quotient Fv
=
K*/U(V),
où U(V) est le sous-groupe de K*
constitué des éléments inversibles de V .
·
Places.
Le vocabulaire des places est un autre point
de vue sur les corps valués. Une place P d'un corps K
vers k est une application P : K ? k ?
{8}, qui vérifie les propriétés suivantes:
- P(x+ y) =
P(x)+P(y) ;
- P(xy) =
P(x)P(y), pour
P(x),P(y)
~ 8 ; - Pour x ~ 0
, P(x) = 8 ? P(x-1) =
0.
Alors P-1(k) est un
anneau de valuation de K , d'idéal maximal
P-1({0}) et de corps résiduel
k.
Inversement, étant donné un corps
valué, l'application quotient de son anneau de valuation V vers
V/max(V) est une
place ( on pose P(x) = 8 pour x V).
Pour toute valuation v d'un corps K
, nous noterons Ov son anneau de valuation,
kv son corps résiduel et Fv son
groupe des ordres.
Définition 2.2.4. -- Nous disons que deux
valuations v et v' de K sont équivalentes si elles
ont même anneau.
·
Proposition 2.2.4. -- Deux valuations vet
v' d'un corps K sont équivalentes si et seulement si
il existe un isomorphisme de groupes ordonnés A
de v(K*) dans
v'(K*) tel que v' =
A ? v .
·
20 A.Belkhadir
2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION
Démonstration. -- En effet il suffit
de remarquer que par définition la valuation détermine l'anneau
V et réciproquement l'anneau V de la valuation
détermine le groupe des ordres : t =
K*/U(V) , ainsi que le
sous-ensemble des éléments «positifs» :
t+ =
V*/U(V).
EXEMPLE : Les valuations sur Q. -- Soient
v une valuation sur Q . Alors Ov contient Z, et
Mv n Z est un idéal premier de Z, donc nul où
de la forme pZ pour un nombre premier p .
Si Mv n Z = {0} , cela veut dire
que tout les éléments de Z sont inversibles dans Ov
, et donc que Ov = Q, i.e.la valuation v
est triviale sur Q .
Supposons maintenant que Mv n Z =
pZ . Cela entraine que si a est un entier, alors
v(a) égale l'exposant de la plus grande puissance de
p divisant a . Cela nous donne que si a E Q
s'écrit pnr où n E Z, et r
est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont
premiers à p, nous avons v(a) = n .
Le groupe de valeurs de v est donc isomorphe à Z, son corps
résiduel à Fp . La valuation v est
la valuation p-adique sur Q .
| 
