2.3 Hauteur d'une valuation
Nous supposons toujours que t est un groupe totalement
ordonné.
Définition 2.3.1. -- Soit t un
groupe totalement ordonné, une partie A de t est
appelée un segment si pour tout élément
á appartenant à A , tout
élément â de t compris
entre á et
-á, i.e. â
vérifiant soit -á <
â < á soit
á < â <
-á , appartient à A . Un
sous-groupe t' de t est appelé un
sous-groupe isolé si t' est à la fois un
sous-groupe propre de t et un segment.
·
Proposition 2.3.1. -- Le noyau d'un homomorphisme
croissant de t dans un groupe ordonné est un sous-groupe
isolé de t.
Réciproquement si t'
est un sous-groupe isolé de t, le groupe quotient
t/t' possède une stucture naturelle
de groupe ordonné telle que t - t/t'
soit un homomorphisme croissant.
Nous considérons une valuation v d'un
corps K à valeurs dans le groupe t, avec t égal au
groupe des ordres, i.e. Nous supposons que v est surjevtive, et soit
V l'anneau
21 A.Belkhadir
2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION
de valuation associé à v . Pour
toute partie A de V contenant 0 nous définissons le
sous-ensemble ÄA de comme le complémentaire dans 8
de (v(A)) ? (-v(A)).
Théorème 2.3.1. -- Si I est
un idéal propre de V le sous-ensemble ÄI est un segment de
. L'application I 7? ÄI est une bijection de l'enemble
des idéaux de V sur l'ensemble des segments de , et nous avons
l'équivalence:
I ? J ? ÄJ ? ÄI .
Le segment ÄI est un sous-groupe
isolé de si et seulement si I est un idéal
premier de V .
Démonstration. -- Soit b un
élément de + n'appartenant pas au sous-ensemble
ÄI , il suffit de montrer que pour tout a dans nous avons :
a = b = a ÄI . Par hypothèse sur b
il existe un élément x de l'idéal I tel que
b = v(x), comme l'application v est
surjective nous déduisons de l'inégalité a =
b l'existence d'un élément y de l'anneau V
tel que v(y) = a - b. Alors xy
appartient à l'idéal I de V et a =
v(xy) n'appartient pas à ÄI .
Réciproquement si Ä est un segment de , il
faut montrer que le sous-ensemble {x ?
V/v(x) Ä} est
un idéal de V :
x ? I et y ? V
v(x)
Ä,v(x) et
v(y) = 0
v(x)+v(y)
Ä
xy ? I;
x et y ? I v(x) et
v(y) Ä
v(x+ y) Ä car
v(x+ y) =
inf(v(x),v(y)),
x+ y ? I.
La relation I ? J ? ÄJ ? ÄI est
évidente, d'où la bijection car l'ensemble des idéaux de
V et l'ensemble des segments de sont totalement ordonnés par
l'inclu-sion. L'idéal I de V est un idéal premier si et
seulement si le complémentaire V . I est stable par
multiplication, c'est à dire si et seulement si son image
v(V . I) est stable par addition, ce qui est bien
équivalent à la condition ÄI est un sous-groupe
de . ci
22 A.Belkhadir
2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION
Définition 2.3.2. -- Le rang
"rang(F)" d'un groupe totalement ordonné F est
égal au nombre de ses sous-groupes isolés si ceux-ci sont en
nombre fini, et est infini sinon. La hauteur ou le rang de la valuation v d'un
corps K est le rang du groupe des valeurs F, et nous le notons
ht(v) ou rang(v).
·
Corollaire 2.3.1. -- La hauteur de la valuation v
est égale à la dimension de l'anneau de valuation associé
à V .
·
Démonstration. -- En effet la hauteur
de la valuation v est égal au nombre de sous-groupes
isolés de F, donc au nombre d'idéaux premiers propres de l'anneau
V . Comme l'ensemble de ces idéaux est totalement
ordonné par l'inclusion ce nombre,
s'il est fini, est la dimension de l'anneau V
. El
Proposition 2.3.2. -- Soient K un corps et V un
anneau de valuation de K .
a) Tout anneau local R vérifiant V ?
R ? K est un anneau de valuation de K . L'idéal maximal
max(R) de R est contenu dans l'anneau V et est un
idéal premier de V .
b) L'application P 7? VP est
une bijection décroissante de l'ensemble des idéaux premiers
P de V dans l'ensemble des anneaux locaux R tels que V ? R
? K . La bijection réciproque est définie par R 7?
max(R).
·
Démonstration. -- a) De la condition
b) du théorème 2.1.1 nous déduisons que l'anneau R
est un anneau de valuation et que son idéal maximal max(R)
est inclus dans V . Comme max(R) est un idéal premier
de R, c'est aussi un idéal premier de V .
b) Pour tout idéal premier P de V ,
l'anneau localisé VP vérifie bien V ?
VP ? K , et l'application P ? VP est strictement
décroissante. De plus nous vérifions que
l'idéal
maximal PVP du localisé est
égal à l'idéal premier P de V .
El
Nous voyons ainsi que l'étude des idéaux
premiers P de V , c.à.d. L'étude des
sous-groupes isolés du groupe des ordres F, se ramène à
l'étude des anneaux R vérifiant V ? R
? K .
EXEMPLE:
23 A.Belkhadir
2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION
1. La valuation impropre de K , c'est
à dire la valuation v définie par v(x)
= 0 pour tout x ? K* , est l'unique valuation de
hauteur nulle.
2. La valuation v de K est de
hauteur 1 si et seulement si le groupe des ordres F de v est
isomorphe à un sous-groupe de (R,+) . C'est
équivalent à dire que le groupe F est archimidien, c'est
à dire que pour tout á, dans F avec
> 0, il existe un entier n tel que n =
á. L'anneau de valuation V associé
à v est de dimension 1, et nous déduisons de la
proposition précédente que l'anneau V est maximal parmi
les sous-anneaux propres de K .
3. La valuation v est une valuation
discrète de K si son groupe des ordres F est un groupe
discret de rang fini, i.e. isomorphe à un sous-groupe de Zn
. En particulier nous disons que la valuation v est
discrète de rang 1 si son groupe des ordres est isomorphe à un
sous-groupe de Z, et nous pouvons toujours supposer qu'il est égal
à Z ; nous disons que l'anneau associé V est un anneau
de valuation discrète de rang 1.
Proposition 2.3.3. -- . Soit A un anneau local
intègre distinct de son corps des fractions K . Alors les conditions
suivantes sont équivalentes:
1. A est un anneau de valuation discrète de
rang 1;
2. A est un anneau principal;
3. l'idéal maximal max(A)
est principal et l'anneau A est noethérien;
4. A est un anneau de valuation noethérien.
·
Démonstration. -- 1) 2) : par
hypothèse le groupe des ordres est isomorphe à Z, les seuls
segments sont alors de la forme [-n,n] ,
pour n ? N . Par conséquent tout idéal I de A
est un idéal du type Pn et est engendré
par tout élément x de l'anneau A
vérifiant v(x) = n où n
= v(I) = inf{v(y)/y ?
I}.
2) 3) : évident.
3) 4 :) nous allons définir une valuation
v sur A appelée la valuation M-adique, où M est
l'idéal maximal max(A) de A. Comme A est
noethérien on a fl n=0 Mn = 0, par conséquent
pour tout élément non nul x de A nous pouvons
définir v(x) comme le plus grand entier n tel
que x appartienne à Mn , c'est à
dire v(x) = 0 ? x ? Mn
.
24 A.Belkhadir
2.4. PROLONGEMENT D'UNE VALUATION
Si nous appelons u un
générateur de l'idéal maximal M de A ,
tout élément x ? A s'écrit sous la forme x
= yun où n = v(x) et
où y est un élément inversible de A.
Tout élément z de K s'écrit alors z
= yun avec n ? Z et y
élément inversible de A, nous en déduisons
que v est bien une valuation discrète de rang 1 de K
et que A est l'anneau associé.
4) 1) : si A est noethérien,
toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire, par
conséquent toute suite décroissante d'éléments de
F+ doit aussi être stationnaire.
Alors le groupe F est isomorphe à Z.
~
Remarque 2.3.1. Si v est une valuation
discrète de rang 1, nous supposons que son groupe des ordres F
est égal à Z, c.à.d. que la valuation v est
bien la valuation M-adique définie précédemment, où
M est l'idéal maximal de l'anneau de valuation A . Alors tout
élément u ? K vérifiant v(u) = 1 est un
générateur de l'idéal maximal M de A . Un tel
élélment u est appelé une uniformisante. De plus
les seuls idéaux de A sont les idéaux
(un)A.
EXEMPLE -- La valuation p-adique sur
Q.
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