Introduction aux valuations

Chapitre 2

Valuations sur les corps

Dans ce chapitre nous présentons des résultats élémentaires principaux sur les valuations . Ces résultats sont bien connus et se trouvent notamment dans les livres : [1] et [4].

Tous les anneaux considérés sont commutatifs.

2.1 Anneaux de valuations

Soient A et B deux anneaux locaux d'idéaux maximaux respectifs max(A) et max(B) , nous disons que B domine A si A c B et max(A) = Anmax(B) ; si nous supposons l'inclusion A c B alors la deuxième condition est équivalente à max(A) c max(B) . la relation "B domine A" que nous notons A < B , est une relation d'ordre sur l'ensemble des anneaux locaux. Si A < B, alors l'injection de A dans B définit un isomorphisme du corps résiduel k(A) = A/max(A) sur un sous-corps du corps résiduel k(B) = B/max(B) . En effet, soit ? : A - B/max(B), a 1-> a + max(B) , alors ?(a) = max(B) t=> a € A n max(B) t=> a € max(A), d'où ? induit une injection ?e : A/max(A) - B/max(B) .

A/max(A)C B/max(B)

Soient A et B deux anneaux intègres avec A c B , alors pour tout idéal premier Q de B l'anneau localisé BQ domine AP où P est l'idéal premier de A défini par P=AnQ.

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2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Définition 2.1.1. -- Soit V un anneau contenu dans un corps K ; alors V est un anneau de valuation de K , si K est le corps des fractions de V et si V est un élément maximal de l'ensemble des sous-anneaux locaux de K ordonné par la relation de domination : i.e. V est un anneau local et si W est un sous-anneau local de K différent de K qui domine V , alors W = V .

- Soit V un anneau intègre, V est un anneau de valuation si V est un anneau de valuation de son corps des fractions.
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Avant de donner les propriétés caractéristiques des anneaux de valuation, nous allons rappeler le théorème de Cohen-seidenberg et la notion d'anneau intégralement clos:

Soit A un sous-anneau d'un anneau commutatif intègre B. Un élément x ? B est dit entier sur A s'il est zéro d'un polynôme normalisé de A[X].

On dit que B est entier sur A, si tout élément de B est entier sur A. L'ensemble des éléments de B entiers sur A est appelé la fermeture intégrale de A dans B. On appelle clôture intégrale de A la fermeture intégrale de A dans son corps des fractions. A est dit intégralement clos (ou normal) s'il est égal à sa clôture intégrale.

Théorème de Cohen-seidenberg. -- Soient A et B deux anneaux avec A c B et B entier sur A , alors pour tout idéal premier P de A il existe un idéal premier Q de B au dessus de P, c'est à dire tel que P = A n Q.
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Théorème 2.1.1. -- Soit V un anneau contenu dans un corps K , alors les conditions suivantes sont équivalentes:

a) V est un anneau de valuation de K ;

b) soit x un élément de K , si x n'appartient pas à l'anneau V alors son inverse x-¹ appartient à V ;

c) K est le corps des fractions de V et l'ensemble des idéaux de V est totalement ordonné par la relation d'inclusion;

d) K est le corps des fractions de V et l'ensemble des idéaux principaux de V est totalement ordonné par la relation d'inclusion. Nous déduisons en particulier que tout idéal de type fini de V est un idéal principal.
·

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2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Démonstration. -- a) b) : soit x un élément non nul du corps K , nous allons montrer que x où x-¹ appartient à V . Si x est entier sur V , nous considérons l'anneau W = V[x]. D'après le théorème de Cohen-seidenberg , il existe un idéal premier Q de W au dessus de l'idéal maximal de V . L'anneau local WQ domine alors l'anneau V , d'où W c WQ = V , et x appartient à V . Si x n'est pas entier sur V , nous considérons l'anneau W = V[x-¹]. Comme x n'est pas entier sur V x-¹ n'est pas un élément inversible de l'anneau W , en effet toute relation de la forme x-¹.w = 1 avec w ? W = V[x-¹], i.e. w = ,ajx-j , donnerait une relation de dépendance intégrale de

x sur V . Par conséquent il existe un idéal maximal Q de W contenant x-¹ et soit V' le localisé V^' = WQ . Comme x-¹ appartient à l'idéal Q, le morphisme composé V ? W = V[x-¹] ? k = W/Q est surjectif, et son noyau Vn Q est l'idéal maximal de V . Nous en déduisons que V est un sous-anneau de K qui domine V , par conséquent V' = V et x-¹ appartient à V .

b) c) soient I et J deux idéaux de V et supposons que J n'est pas inclus dans I. Alors il existe un élément x de J n'appartenant pas à I et pour tout élément y non nul appartenant à I, nous avons x (y)V ; par conséquent x/y est un élément de K n'appartenant pas à V et nous en déduisons que y/x appartient à V , c'est à dire

y ? (x)V , d'où y ? J . Nous avons ainsi montré que I est inclus dans J et il est clair aussi que K est le corps des fractions de V .

c) a) comme l'ensemble des idéaux de V est totalement ordonné par l'inclusion V possède un seul idéal maximal max(V). Soit W un sous-anneau local de K qui domine V et soit x appartenant à W , nous allons montrer que x appartient aussi à V ; nous pouvons écrire x = a/b avec a ? V et b ? V . Si l'idéal (a)V est inclus dans (b)V alors x appartient à V . Si l'idéal (b)V est inclu dans (a)V alors x-¹ ? V , nous en déduisons que x et x-¹ appartiennent tout les deux à W d'où x-¹ max(W) et x-¹ max(V) car W domine V . L'élément x-¹ de K vérifie alors x-¹ ? V et x-¹ max(V) par conséquent, comme V est local, x appartient à V .

d) ? c) l'implication directe est évidente. Montrons la réciproque; soient I et J deux idéaux de V et supposons que J n'est pas inclus dans I. Alors il existe un élément x de J n'appartenant pas à I et pour tout élément y non nul appartenant à

I, nous avons x (y)V , d'où (y)V c (x)V c J , ainsi on a I c J . ci

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2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Remarque 2.1.1. En «a) b)» nous avons montré que tout anneau de valuation est intégralement clos.

Nous allons maintenant montrer l'existence d'anneaux de valuations.

Proposition 2.1.1. -- Soit A un sous-anneau d'un corps K et soit h un morphisme de A dans un corps algébriquement clos L, alors il existe un anneau de valuation V de K contenant A et un morphisme h^' de V dans L tel que h^' prolonge h et max(V) = h^'-¹(0).

/- _V
·

_h'

/- K

A	· ~
	OOOOOOOOOh OOO'O'

L alg.clos

Démonstration. -- Nous considérons l'ensemble 1-( formés des couples (B, f) où B est un sous-anneau de K et f est un homomorphisme de B dans L ; nous définissons sur cet ensemble la relation d'ordre (B,F) ~ (C, g) par B c C et g prolonge f . L'ensemble 1-( muni de cette relation d'ordre est un ensemble inductif, i.e. toute partie totalement ordonnée admet une borne supérieure - si nous avons la partie ((B_á, f_á)) il suffit de prendre pour borne supérieure le couple (B, f) où B est l'union des B_á et où f est défini par les restrictions f_á - D'après le lemme de Zorn nous en déduisons que l'ensemble 1-( admet un élément maximal (W, g). Si nous appelons P le noyau du

morphisme g : W - L, l'anneau V cherché est le localisé V = WP . El

Corollaire 2.1.1. -- Tout sous-anneau local A d'un corps K est dominé par au moins un anneau de valuation de K.
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Démonstration. -- Il suffit d'appliquer la proposition précédente à h : A - L, où L est

une clôture algébrique du corps résiduel A/max(A). El

Remarque 2.1.2. Le plus souvent nous nous donnerons un corps de base k et nous considérons uniquement des corps K extensions de k et les sous-anneaux A qui sont des k-algèbres. Nous trouvons comme précédemment le résultat d'existence suivant:

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2.2. VALUATION

Soit A une sous k-algèbre de K et soi h un k-morphisme de A dans un corps algébriquement clos L , il existe alors un anneau de valuation V de K qui est une k-algèbre et un morphisme h' de V dans L tel que V contienne A, h^' prolonge h et max(V) = h^'-¹(0) .