1.4 Le corps Qp des nombres p-adiques
Nous avons déja vu que l'anneau Zp
des entiers p-adiques est intègre. Cela nous permet
de définir le corps des nombres p-adiques comme le corps de
fractions de Zp ,
Qp =
Frac(Zp).
Nous avons également démontré que
tout entier p-adique x ? Zp peut
être écrit sous la forme x = pmu avec u
une unité de Zp et m ? N la valuation
p-adique de x . Il s'ensuit que l'inverse de x dans
Qp devra être 1/x =
p-mu-1 , ce qui montre que Qp
est engendré par Zp et les puissances
négatives de p :
Qp =
Zp[1/p].
la représentation des inverses sous la forme
1/x = p-mu-1 montre
également que 1/x ?
p-mZp et
UQp =
p-mZp.
m=0
Nous pouvons encore remarquer que tout nombre
p-adique non nul peut s'écrire de manière unique comme
x = pmu avec m ? Z et u une unité
de Zp . Ainsi
Nous pouvons étendre la valuation
p-adique à Qp tout entier en posant pour 0
* x = pmu
vp(x) =
vp(pmu) = m ?
Z.
10 A.Belkhadir
1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES
P-ADIQUES
Si x = a/b
avec a E Zp et 0 *
b E Zp , alors
vp(x) = vp(a) -
vp(b) E Z et, comme nous l'avons déja
démontré, nous avons la relation
vp(xy) =
vp(x) +
vp(y), pour tout
x,y E
Qp. Il s'ensuit que la valution
p-adique est un homomorphisme
vp : Q×p
- Z.
il est clair que le nombre p-adique x
est un nombre entier p-adique si et seulement si
vp(x) >_ 0 .i.e.
Zp = {x E
Qp | vp(x) >_
0}.
Il est clair aussi que si un élément x
E Qp n'appartient pas Zp , alors
x-1 E Zp .
EXEMPLE -- Tout nombre p-adique a
possède une expression p-adique, i.e. on peut
l'écrire dans la base p :
a = a0 +a1p+a2p2
+...+arpr
(0 < ai <
p). (1.1)
En termes de valuation vp on peut
penser à a comme s'il est obtenu par des approximations
successives : a0,a0 +
a1p,...,a . De
manière similaire, un élément de Zp
peut être écrit comme des séries
infinies
b = b0 + b1p +
b2p2 + ...;
(1.2)
C'est la limite de la suite des entiers formés par
les sommes partielles
b0,b1p,...
. Pour un élément c de Qp
on va écrire :
c = c-kp-k +
c1-kp1-k +
... + c-1p-1
+ c0 + c1p + c2p2 +
...; (1.3)
Par exemple, on sait
que
-1 = E1 (p -
1)pk.
k>_0
Pour p = 7 , on a :
-1 =
6+6.7+6.72+....
(1.4)
Les nombres rationnels sont dans Z aussi longs que
leur dénominateur est premier avec 7 . Ainsi, pour trouver le
développement 7-adique de 1/2 on a :
1/2 =
(-6+7)/2 =
-3+12.7=-3-3.7-3.72-...,donc
1 8-7
2 = 2 = 4-
2.7 =
4+3.7+3.72+...;
1 (1.5)
11 A.Belkhadir
1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES
P-ADIQUES
A l'aide de ce développement on peut résoudre
l'équation x2 = 2
dans Z7 , en utilisant le théorème binomial.
Précisement on a x2 =
2 quand (2x)2 =
8 = 1+7,
donc 2x =
(1+7)1/2 ,
et
x =
1 )
2(1 +
7)1/2 = (1/2
.7n.
n
On utilisant (1.5), on peut voir que la dernière somme
est un élément de Z7 .
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