Planification et gestion du parc de transport au niveau de la SARL Ibrahim et fils

2.4.1.4 Processus de mort pur

Dans un processus de mort pur, l'ensemble des états possibles est {0, 1, 2
·
·
· } et ë_n = 0 pour n = 0, 1,
·
·
·

f0, si n = 0, u, si n = 1,
·

u_n =

·
·N.

Intuitivement l'état initial d'un tel système vaut N, il n'y pas d'arrivées et les départs se produisent a` taux (moyen)constant jusqu'àce que le système soit vide. En interprétant les départs comme des »arrivées a` l'extérieur du système», on conclut facilement que :

P_n(t) = probabilitéque (N-n) départs se produisent dans l'intervalle [0,t)

= e

et

--pt (ut)N--n (N - n)! ,

^àP_n(t) = probabilitéque N départs au moins se produisent dans l'intervalle [0,t)

P8 = j=N			e_ut (it)j j!		=1 -- =1 --
N_1 P j=0 PN n=1		e_ut (it)j j! Pn(t).

2.4.1.5 Modèles non markoviens

En l'absence de l'exponentialitéou plutôt lorsque l'on s'écarte de l'hypothèse d'exponentialitéde l'une des deux quantités stochastiques le temps des inter arrivées et la durée de service, ou en prenant en compte certaines spécificités des problèmes par introduction des paramètres supplémentaires, on aboutit a` un modèle non markovien. La combinaison de tous ces facteurs rend l'étude mathématique du modèle très délicate, voire impossible. On essaye alors de se ramener a` un processus de Markov judicieusement choisi a` l'aide de l'une des méthodes d'analyse suivantes :

- Méthode de la chaàýne de Markov induite

Cette méthode, élaborée par Kendall, est souvent utilisée. Elle consiste a` choisir une séquence d'instants 1, 2, . . . , m (déterministes ou aléatoires) telle que la chaàýne induite {X<sub>n</sub>, m = 0}, o`u X_n = X(m), soit markovienne et homogène.

- Méthode des variables auxiliaires

Elle consiste a` compléter l'information sur le processus {Xt}t=0 de telle manière a` lui donner le caractère markovien. Ainsi, on se ramène a` l'étude du processus {X(t), A(t1), A(t2), . . . , A(t_n)}. Les variables A(tk), k E {1, 2,. . . , m} sont des variables aléatoires supplémentaires.

- Méthode des événements fictifs

Le principe de cette méthode est d'introduire des événements fictifs qui permettent de donner une interprétation probabiliste aux transformées de Laplace et aux variables aléatoires décrivant le système étudié.

- Simulation

C'est un procédéd'imitation artificielle d'un processus réel donné. Comme résultat de cette imitation, on obtient des approximations des caractéristiques du système étudié, permettant ainsi de mesurer ses performances.